Номер 19, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 1 см, а боковое ребро — 2 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Боковое ребро $l = 2$ см

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м

$l = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы воспользуемся методом объемов. Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник, связан с объемом $V$ и площадью полной поверхности $S_{полн}$ многогранника формулой: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$. Чтобы воспользоваться этой формулой, нам необходимо найти объем и площадь полной поверхности пирамиды. Вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Найдем площадь основания пирамиды. Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат.

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$. Для этого нам понадобится апофема $h_a$ (высота боковой грани).

Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником с основанием $a=1$ см и боковыми сторонами $l=2$ см. Апофема является высотой этого треугольника, проведенной к основанию. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной основания боковой грани и боковым ребром:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

Площадь одной боковой грани равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех одинаковых боковых граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15}$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1 + \sqrt{15}$ см$^2$.

4. Найдем объем пирамиды $V$. Для этого сначала найдем высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (его длина равна половине стороны основания, т.е. $\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора:

$H = \sqrt{h_a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{15}{4} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{6}$ см$^3$.

5. Наконец, найдем радиус вписанной сферы по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$:

$r = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{14}}{6}}{1 + \sqrt{15}} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{1 + \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{14}}{2(1 + \sqrt{15})}$ см.

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{15} - 1)$:

$r = \frac{\sqrt{14}}{2(\sqrt{15} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{15} - 1}{\sqrt{15} - 1} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2((\sqrt{15})^2 - 1^2)} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2(15 - 1)} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2 \cdot 14} = \frac{\sqrt{15} - 1}{2\sqrt{14}}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{15} - 1}{2\sqrt{14}}$ см.