Страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой четырехугольник, периметром 4 см и площадью $2\text{ см}^2$. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Призма - прямая четырехугольная
Периметр основания, $P = 4$ см
Площадь основания, $S = 2$ см²

Перевод в систему СИ:
$P = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной сферы, $R$

Решение:

Если в прямую призму можно вписать сферу, это означает, что сфера касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней. Касание оснований означает, что высота призмы равна диаметру сферы ($H = 2R$). Касание боковых граней означает, что в многоугольник основания можно вписать окружность, и радиус этой окружности равен радиусу вписанной сферы.

Таким образом, радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в четырехугольник, который является основанием призмы. Наша задача сводится к нахождению радиуса этой вписанной окружности.

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность (такой многоугольник называется описанным), его площадь $S$ связана с периметром $P$ и радиусом вписанной окружности $r$ следующей формулой:
$S = p \cdot r$
где $p$ — полупериметр многоугольника ($p = P/2$).

Сначала вычислим полупериметр основания. Периметр $P$ дан по условию и равен 4 см:
$p = \frac{P}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Теперь мы можем выразить радиус вписанной окружности $r$ из формулы площади:
$r = \frac{S}{p}$

Подставим известные значения площади основания $S = 2$ см² и вычисленного полупериметра $p = 2$ см:
$r = \frac{2 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 1 \text{ см}$

Так как радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу вписанной в основание окружности $r$, то:
$R = r = 1 \text{ см}$

Ответ: 1 см.

16. В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Найдите ребро этого тетраэдра.

Дано:

В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Это означает, что радиус вписанной сферы $r = 1$.

Найти:

Длину ребра тетраэдра $a$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся соотношением между радиусом вписанной в правильный тетраэдр сферы $r$ и длиной его ребра $a$.

Существует два основных способа найти эту связь.

Способ 1: Геометрический.

Центр вписанной сферы в правильный тетраэдр совпадает с его геометрическим центром (центроидом), который является точкой пересечения высот тетраэдра. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой грани, что составляет меньшую часть высоты, то есть $1/4$ от всей высоты $H$.

$r = \frac{H}{4}$

Высоту правильного тетраэдра $H$ можно выразить через его ребро $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$, ребром $a$ (в качестве гипотенузы) и радиусом $R$ описанной окружности вокруг основания (в качестве катета). Основанием является правильный треугольник со стороной $a$. Радиус описанной окружности для него равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2$

$H^2 + \frac{a^2}{3} = a^2$

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь подставим выражение для $H$ в формулу для радиуса вписанной сферы:

$r = \frac{H}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Способ 2: Через объемы.

Объем правильного тетраэдра $V$ можно вычислить по формуле: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

С другой стороны, объем тетраэдра можно представить как сумму объемов четырех малых пирамид с общей вершиной в центре вписанной сферы и основаниями, совпадающими с гранями тетраэдра. Высота каждой такой пирамиды равна радиусу вписанной сферы $r$.

Площадь одной грани (правильного треугольника со стороной $a$) равна $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Объем тетраэдра равен $V = 4 \cdot (\frac{1}{3} S_{грани} \cdot r) = \frac{4}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot r = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}r$.

Приравняем два выражения для объема:

$\frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}r$

Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{a\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}r \implies a = r \cdot \frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = r \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = r \cdot \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2r\sqrt{6}$

Используя любую из полученных формул, связывающих $a$ и $r$ (например, $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$), выразим ребро $a$:

$a = \frac{12r}{\sqrt{6}} = \frac{12r\sqrt{6}}{6} = 2r\sqrt{6}$

По условию задачи, сфера единичная, то есть $r = 1$. Подставим это значение:

$a = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$.

17. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2 см, и двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сторона основания $a = 2$ см

Двугранный угол при основании $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему $SM$ боковой грани (где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, $M$ – середина стороны основания $BC$).

Данное сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$ с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике катет $SO$ является высотой пирамиды, катет $OM$ – радиусом окружности, вписанной в треугольник основания, а угол $\angle SMO$ – это линейный угол двугранного угла при основании, то есть по условию $\angle SMO = \alpha = 60^\circ$.

Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Он также является точкой пересечения высоты с биссектрисами двугранных углов. В нашем сечении $SOM$ точка $I$ будет лежать на пересечении высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$.

Рассмотрим треугольник $IOM$. Он является прямоугольным, так как $IO$ – это часть высоты пирамиды $SO$, которая перпендикулярна основанию. Катет $IO$ равен искомому радиусу вписанной сферы, то есть $IO = r$. Угол $\angle IMO$ является половиной двугранного угла при основании, поскольку $MI$ – биссектриса угла $\angle SMO$. Таким образом, $\angle IMO = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике $IOM$ имеем:

$\text{tg}(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

Отсюда выражаем искомый радиус $r$:

$r = IO = OM \cdot \text{tg}(\angle IMO) = OM \cdot \text{tg}(30^\circ)$

Далее необходимо найти длину отрезка $OM$. $OM$ – это радиус окружности, вписанной в правильный треугольник (основание пирамиды) со стороной $a$. Формула для вычисления этого радиуса:

$OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны основания $a = 2$ см:

$OM = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной сферы $r$, подставив найденное значение $OM$ и значение тангенса $30^\circ$ (известно, что $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):

$r = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ см.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{1}{3}$ см.

18. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида
Боковые ребра $l = 1$ см
Плоские углы при вершине $ \alpha = 90^\circ $

Перевод в систему СИ:
$l = 0.01$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является правильный треугольник $ABC$. Боковые ребра равны $SA = SB = SC = l = 1$ см. Плоские углы при вершине $S$ равны $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCA$) являются равными прямоугольными равнобедренными треугольниками. Найдем длину стороны основания $a = AB$. По теореме Пифагора для треугольника $SAB$:
$a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$a = \sqrt{2}$ см.

Радиус вписанной в пирамиду сферы $r$ можно найти по формуле, связывающей объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{полн}$: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Найдем объем пирамиды. Сначала вычислим площадь основания $S_{осн}$. Так как $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a = \sqrt{2}$ см, его площадь равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H=SO$, где $O$ — центр основания. В правильном треугольнике $O$ является центром описанной окружности. Радиус этой окружности $R = AO$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $H^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$H = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $V$: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$ см$^3$.

Далее найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех одинаковых боковых граней. Каждая грань — это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 см. $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.
$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Наконец, вычислим радиус вписанной сферы $r$: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

19. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 1 см, а боковое ребро — 2 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Боковое ребро $l = 2$ см

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м

$l = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы воспользуемся методом объемов. Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник, связан с объемом $V$ и площадью полной поверхности $S_{полн}$ многогранника формулой: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$. Чтобы воспользоваться этой формулой, нам необходимо найти объем и площадь полной поверхности пирамиды. Вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Найдем площадь основания пирамиды. Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат.

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$. Для этого нам понадобится апофема $h_a$ (высота боковой грани).

Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником с основанием $a=1$ см и боковыми сторонами $l=2$ см. Апофема является высотой этого треугольника, проведенной к основанию. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной основания боковой грани и боковым ребром:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

Площадь одной боковой грани равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех одинаковых боковых граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15}$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1 + \sqrt{15}$ см$^2$.

4. Найдем объем пирамиды $V$. Для этого сначала найдем высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (его длина равна половине стороны основания, т.е. $\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора:

$H = \sqrt{h_a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{15}{4} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{6}$ см$^3$.

5. Наконец, найдем радиус вписанной сферы по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$:

$r = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{14}}{6}}{1 + \sqrt{15}} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{1 + \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{14}}{2(1 + \sqrt{15})}$ см.

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{15} - 1)$:

$r = \frac{\sqrt{14}}{2(\sqrt{15} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{15} - 1}{\sqrt{15} - 1} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2((\sqrt{15})^2 - 1^2)} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2(15 - 1)} = \frac{\sqrt{14}(\sqrt{15} - 1)}{2 \cdot 14} = \frac{\sqrt{15} - 1}{2\sqrt{14}}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{15} - 1}{2\sqrt{14}}$ см.

20. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2 см, и двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

Дано:

Пирамида - правильная четырехугольная.

Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Двугранные углы при основании $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, находится на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и середины двух противоположных сторон основания.

Данное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а углы при основании равны двугранным углам при основании пирамиды $\alpha$. Сфера будет пересекаться с плоскостью этого сечения по окружности, вписанной в этот равнобедренный треугольник. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом $r$ вписанной сферы.

Обозначим равнобедренный треугольник сечения как $MSN$, где $S$ - вершина пирамиды, а $MN$ - отрезок, соединяющий середины противоположных сторон основания. Таким образом, $MN = a = 2 \text{ см}$. Пусть $SO$ - высота пирамиды (и треугольника $MSN$), тогда $O$ - центр основания пирамиды и середина отрезка $MN$. Следовательно, $OM = \frac{a}{2}$.

В треугольнике $MSN$ угол при основании $\angle SMO = \alpha = 60^\circ$.

Центр $I$ вписанной окружности (и сферы) лежит на высоте $SO$, так как $SO$ является осью симметрии треугольника $MSN$. Центр вписанной окружности также является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$, где $\angle O = 90^\circ$. Катет $IO$ равен радиусу вписанной сферы $r$. Катет $OM = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

Так как $I$ - центр вписанной окружности, то отрезок $MI$ является биссектрисой угла $\angle SMO$. Следовательно, угол $\angle IMO$ равен половине угла $\angle SMO$:

$\angle IMO = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $IOM$ по определению тангенса имеем:

$\tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

Отсюда выразим радиус $r=IO$:

$r = OM \cdot \tan(\angle IMO)$

Подставим известные значения:

$r = 1 \text{ см} \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: Радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

21. Единичная сфера вписана в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Радиус вписанной сферы (единичная сфера) $r = 1 \text{ см}$.

Сторона основания $a = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

(Примечание: для решения данной задачи перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы. Расчеты будут производиться в сантиметрах).

$r = 0.01 \text{ м}$

$a = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Высоту пирамиды $H$.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Пусть $SO=H$ - высота пирамиды, где $O$ - центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Центр вписанной сферы в правильную пирамиду всегда лежит на ее высоте. Обозначим центр сферы как $Q$. Поскольку сфера вписана, она касается плоскости основания пирамиды в его центре $O$. Следовательно, расстояние от центра сферы $Q$ до основания равно радиусу сферы, то есть $QO = r = 1 \text{ см}$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофемы боковых граней. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. Тогда $SM$ - апофема (высота боковой грани $SCD$). Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$, где $\angle O = 90^\circ$.

В этом треугольнике катет $SO$ - это искомая высота пирамиды $H$. Катет $OM$ - это расстояние от центра квадрата до середины его стороны, что равно половине длины стороны основания.$OM = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Вписанная сфера касается не только основания, но и всех боковых граней. Точка касания с гранью $SCD$ будет лежать на ее высоте (апофеме) $SM$. Расстояние от центра сферы $Q$ до апофемы $SM$ равно радиусу $r$. Проведем из точки $Q$ перпендикуляр $QK$ к апофеме $SM$. Таким образом, $QK = r = 1 \text{ см}$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ (прямой угол при $O$) и $\triangle SQK$ (прямой угол при $K$).

Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$ ($\angle MSO$).

Из подобия треугольников $\triangle SQK \sim \triangle SMO$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{QK}{OM} = \frac{SQ}{SM}$

Найдем длины отрезков, входящих в эту пропорцию:

• $QK = r = 1 \text{ см}$.

• $OM = 2 \text{ см}$.

• $SQ = SO - QO = H - r = H - 1$.

• $SM$ - гипотенуза в треугольнике $\triangle SOM$. По теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + 2^2} = \sqrt{H^2 + 4}$.

Подставим все найденные значения в уравнение пропорции:

$\frac{1}{2} = \frac{H - 1}{\sqrt{H^2 + 4}}$

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат. Поскольку высота $H$ должна быть больше радиуса $r=1$ (так как центр сферы $Q$ находится между $S$ и $O$), обе части уравнения положительны.

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{(H - 1)^2}{(\sqrt{H^2 + 4})^2}$

$\frac{1}{4} = \frac{H^2 - 2H + 1}{H^2 + 4}$

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (H^2 + 4) = 4 \cdot (H^2 - 2H + 1)$

$H^2 + 4 = 4H^2 - 8H + 4$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$0 = 4H^2 - H^2 - 8H + 4 - 4$

$3H^2 - 8H = 0$

Вынесем общий множитель $H$ за скобки:

$H(3H - 8) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

$H_1 = 0$ или $3H - 8 = 0$.

Решение $H = 0$ не имеет физического смысла, так как высота пирамиды должна быть положительной величиной.

Из второго уравнения находим $H$:

$3H = 8$

$H = \frac{8}{3}$

Таким образом, высота пирамиды равна $\frac{8}{3}$ см.

Ответ: $H = \frac{8}{3} \text{ см}$.

22. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, у которой ребра основания равны 1 см, а боковые ребра — 2 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Ребра основания равны $a = 1$ см.

Боковые ребра равны $l = 2$ см.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, находится на ее высоте. Пусть $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр правильного шестиугольника в основании. Тогда высота пирамиды – это отрезок $SO=H$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на отрезке $SO$.

Радиус вписанной сферы $r$ – это расстояние от ее центра $I$ до плоскости основания и до плоскостей боковых граней. Так как точка $I$ лежит на высоте $SO$, ее расстояние до плоскости основания равно длине отрезка $IO$. Таким образом, $IO = r$.

Для нахождения радиуса рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$, центр основания $O$ и середину $M$ одного из ребер основания. Это сечение является прямоугольным треугольником $SOM$, где $OM$ – апофема основания, $SO$ – высота пирамиды, а $SM$ – апофема пирамиды (высота боковой грани).

Для начала найдем длины сторон треугольника $SOM$.

1. Апофема основания $OM$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Такой шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 1 см. Апофема $OM$ является высотой в одном из таких треугольников. По теореме Пифагора:

$OM = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Апофема пирамиды $SM$.

$SM$ является высотой боковой грани, которая представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a=1$ см и боковыми сторонами $l=2$ см. По теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{2^2 - (1/2)^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

3. Высота пирамиды $SO=H$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ по теореме Пифагора:

$H = SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{4} - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$ см.

4. Нахождение радиуса $r$.

Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от $I$ до основания равно $IO = r$. Расстояние от $I$ до боковой грани (в нашем сечении это гипотенуза $SM$) также равно $r$.

Проведем из точки $I$ перпендикуляр $IK$ к гипотенузе $SM$. Тогда $IK = r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SKI$ и $\triangle SMO$. Они подобны, так как имеют общий острый угол $\angle MSO$.

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Подставим известные значения: $IK=r$, $OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $SI = SO - IO = H - r = \sqrt{3} - r$, $SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - r}{\frac{\sqrt{15}}{2}}$

Упростим уравнение, умножив обе части на $\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$\frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - r}{\frac{\sqrt{15}}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3} - r)}{\sqrt{15}}$

$r \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - r)$

$r\sqrt{15} = 3 - r\sqrt{3}$

$r\sqrt{15} + r\sqrt{3} = 3$

$r(\sqrt{15} + \sqrt{3}) = 3$

$r = \frac{3}{\sqrt{15} + \sqrt{3}}$

Вынесем в знаменателе общий множитель $\sqrt{3}$:

$r = \frac{3}{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$r = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{5 - 1} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{4}$

Ответ: $r = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{4}$ см.

1. Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.

Дано:

Единичный куб, ребро куба $a = 1$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, описанная около куба, проходит через все его восемь вершин. Центр такой сферы совпадает с центром куба. Диаметр описанной сферы $D$ равен главной диагонали куба $d$.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{d}{2}$

Найдем длину главной диагонали куба. Главная диагональ $d$ может быть найдена по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани куба $d_{грани}$, а гипотенузой — главная диагональ куба $d$.

Сначала найдем диагональ грани куба. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь найдем главную диагональ куба $d$ из прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $d_{грани}$:

$d^2 = a^2 + d_{грани}^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

По условию, у нас единичный куб, значит, его ребро $a = 1$.

Подставим значение $a$ в формулу для главной диагонали:

$d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Теперь можем найти радиус описанной сферы:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу.

Дано:

Куб вписан в единичную сферу. Единичная сфера — это сфера, радиус которой равен 1.

Радиус сферы $R = 1$.

Найти:

Ребро куба $a$.

Решение:

Если куб вписан в сферу, то все его вершины лежат на поверхности сферы. Центр куба совпадает с центром сферы. Диагональ куба, соединяющая две его противоположные вершины, проходит через центр сферы и является ее диаметром.

Диаметр сферы $D$ равен двум ее радиусам $R$:

$D = 2R$

Так как сфера единичная, $R = 1$, то ее диаметр:

$D = 2 \times 1 = 2$

Теперь найдем формулу для диагонали куба $d$ через его ребро $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ куба $d$, а катетами — ребро куба $a$ и диагональ грани куба $d_{грани}$.

По теореме Пифагора, квадрат диагонали грани равен сумме квадратов двух ребер:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Теперь найдем квадрат диагонали самого куба:

$d^2 = d_{грани}^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, диагональ куба равна:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Приравниваем диагональ куба $d$ к диаметру сферы $D$:

$d = D$

$a\sqrt{3} = 2$

Выразим ребро куба $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: Ребро куба равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

3. Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см, 3 см.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с ребрами, выходящими из одной вершины:

$a = 1 \text{ см}$

$b = 2 \text{ см}$

$c = 3 \text{ см}$

Перевод данных в систему СИ:

$a = 0.01 \text{ м}$

$b = 0.02 \text{ м}$

$c = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, находится в точке пересечения его пространственных диагоналей. Диаметр этой сферы равен длине пространственной диагонали параллелепипеда.

Квадрат длины пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в формулу значения длин ребер:

$d^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2$

$d^2 = 1 + 4 + 9$

$d^2 = 14$

Тогда длина пространственной диагонали равна:

$d = \sqrt{14} \text{ см}$

Диаметр $D$ описанной сферы равен длине диагонали $d$:

$D = d = \sqrt{14} \text{ см}$

Радиус $R$ сферы равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ см}$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$ см.

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см и 2 см. Радиус описанной сферы равен 1,5 см. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Ребро $a = 1$ см

Ребро $b = 2$ см

Радиус описанной сферы $R = 1,5$ см

$a = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$
$R = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м}$

Найти:

Третье ребро $c$, выходящее из той же вершины.

Решение:

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

где $a, b, c$ - ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины.

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Диагональ $d$ параллелепипеда является диаметром $D$ описанной сферы. Радиус сферы $R$ связан с диаметром соотношением:

$D = 2R$

Следовательно, $d = D = 2R$.

Возведя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

$d^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Приравняем два полученных выражения для квадрата диагонали $d^2$:

$a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2$

Из этой формулы мы можем выразить неизвестное ребро $c$. Подставим известные значения. Все величины даны в сантиметрах, поэтому вычисления удобно производить в них.

$1^2 + 2^2 + c^2 = 4 \cdot (1,5)^2$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$1 + 4 + c^2 = 4 \cdot 2,25$

$5 + c^2 = 9$

Теперь выразим $c^2$:

$c^2 = 9 - 5$

$c^2 = 4$

Так как длина ребра $c$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень:

$c = \sqrt{4} = 2$ см

Ответ: 2 см.

5. Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра.

Дано:

Единичный тетраэдр, то есть правильный тетраэдр с длиной ребра $a=1$.

Найти:

Радиус $R$ описанной около тетраэдра сферы.

Решение:

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с ребром $a=1$. Центр $O$ описанной сферы совпадает с центроидом тетраэдра и лежит на его высоте. Опустим высоту $DH$ из вершины $D$ на основание $ABC$. Точка $H$ является центром правильного треугольника $ABC$ (точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Радиус описанной сферы $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин тетраэдра. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO$. В нём $OA$ — гипотенуза, $AH$ и $OH$ — катеты. По теореме Пифагора: $OA^2 = AH^2 + OH^2$.

1. Найдём длину отрезка $AH$. Так как $H$ — центр правильного треугольника $ABC$, то $AH$ — это радиус описанной около него окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ он вычисляется по формуле $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$. При $a=1$ получаем:$AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдём высоту тетраэдра $H_{тет} = DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Его гипотенуза — ребро тетраэдра $AD = a = 1$, а один из катетов — отрезок $AH = \frac{\sqrt{3}}{3}$. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, высота тетраэдра $H_{тет} = DH = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3. Найдём радиус $R$. Центр сферы $O$ лежит на высоте $DH$. Расстояние от него до вершины $D$ равно $R$ ($OD=R$). Расстояние от него до основания $ABC$ равно $OH = DH - OD = H_{тет} - R$.

Подставим все известные значения в исходное уравнение $OA^2 = AH^2 + OH^2$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (H_{тет} - R)^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + (\frac{\sqrt{6}}{3} - R)^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = \frac{1}{3} + (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot R + R^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{9} - \frac{2\sqrt{6}}{3}R + R^2$

$R^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3}R + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях и упростим:

$0 = 1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}R$

$\frac{2\sqrt{6}}{3}R = 1$

$R = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

6. Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу.

Дано:

Правильный тетраэдр вписан в единичную сферу.

Радиус описанной сферы $R = 1$.

Найти:

Длину ребра тетраэдра $a$.

Решение:

Для правильного тетраэдра существует установленное соотношение между длиной его ребра $a$ и радиусом $R$ описанной вокруг него сферы. Центр описанной сферы совпадает с центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Этот центр делит высоту тетраэдра $H$ в отношении 3:1, считая от вершины.

Радиус описанной сферы равен большей из этих частей, то есть:

$R = \frac{3}{4}H$

Высоту правильного тетраэдра $H$ можно выразить через длину его ребра $a$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$, боковым ребром $a$ (которое является гипотенузой) и отрезком, соединяющим основание высоты с вершиной основания тетраэдра. Этот отрезок является радиусом окружности, описанной вокруг основания тетраэдра, $r_{осн}$.

Основание тетраэдра — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Радиус описанной около него окружности вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь по теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника (с катетами $H$ и $r_{осн}$ и гипотенузой $a$):

$H^2 + r_{осн}^2 = a^2$

Подставим выражение для $r_{осн}$:

$H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2$

$H^2 + \frac{a^2}{3} = a^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = a\frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $H$ в формулу для радиуса описанной сферы $R$:

$R = \frac{3}{4} H = \frac{3}{4} \left( a\frac{\sqrt{6}}{3} \right) = a\frac{3\sqrt{6}}{12} = a\frac{\sqrt{6}}{4}$

Мы получили общую формулу, связывающую радиус описанной сферы и ребро правильного тетраэдра: $R = a\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Выразим из этой формулы ребро $a$:

$a = \frac{4R}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$a = \frac{4R\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$

По условию задачи, сфера является единичной, следовательно, её радиус $R = 1$. Подставим это значение в полученную формулу для $a$:

$a = \frac{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}}{3} $.