Страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

69. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра, $h = \sqrt{3}$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.
$h = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Объем призмы, $V_{призмы}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

Так как призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте цилиндра $h$: $H = h = \sqrt{3}$ см.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (равносторонний треугольник).

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$: $a = r \cdot 2\sqrt{3}$.

Подставим известное значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см, чтобы найти длину стороны основания призмы: $a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны $a = 6$ см: $S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Наконец, вычислим объем призмы, зная площадь основания и высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$ см³.

Ответ: $27$ см³.

70. Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра $R = 2\sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра $H_{цил} = 2\sqrt{3}$ см.

$R = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$
$H_{цил} = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H_{пр}$ - высота призмы. Для удобства проведем все вычисления в сантиметрах.

Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра:

$H_{пр} = H_{цил} = 2\sqrt{3}$ см.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник, который вписан в окружность основания цилиндра. Это означает, что радиус основания цилиндра $R$ является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом $R$ описанной около него окружности выражается формулой $a = R\sqrt{3}$.

Найдем сторону основания призмы $a$:

$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания призмы $S_{осн}$, которая является площадью равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула площади:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a=6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Наконец, вычислим объем призмы, используя найденные площадь основания и высоту:

$V_{пр} = S_{осн} \cdot H_{пр} = 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18 \cdot (\sqrt{3})^2 = 18 \cdot 3 = 54$ см³.

Ответ: $54$ см³.

71. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около сферы, радиус которой равен $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около сферы.

Радиус сферы, $r = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем призмы, $V$.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма является правильной, ее основание — это равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Сфера, вписанная в призму, касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех трех боковых граней.

1. Найдем высоту призмы $H$.

Высота призмы, в которую можно вписать сферу, равна диаметру этой сферы. Расстояние между верхним и нижним основаниями, которых касается сфера, равно $2r$.

$H = 2r = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем сторону основания $a$.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. В сечении получим равносторонний треугольник (основание призмы), в который вписана окружность (большой круг сферы) с радиусом $r = \sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Отсюда можно выразить сторону треугольника $a$:

$a = r \cdot 2\sqrt{3}$

Подставим значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см:

$a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

3. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

4. Найдем объем призмы $V$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$ см³.

Ответ: $54$ см³.

72. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра $h_{цил} = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн} \times H_{пр}$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H_{пр}$ — ее высота.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $H_{пр}$ равна высоте цилиндра $h_{цил}$.
$H_{пр} = h_{цил} = \sqrt{3}$ см.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Окружность основания цилиндра вписана в этот шестиугольник. Радиус вписанной окружности в правильном шестиугольнике равен его апофеме $a$. Таким образом, апофема шестиугольника равна радиусу основания цилиндра.
$a = r = \sqrt{3}$ см.

Сторона правильного шестиугольника $s$ связана с его апофемой $a$ соотношением: $a = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.
Найдем сторону шестиугольника $s$, подставив значение апофемы:
$\sqrt{3} = \frac{s\sqrt{3}}{2}$
Делим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$1 = \frac{s}{2}$
Отсюда $s = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.
Подставим найденное значение стороны $s=2$ см:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4 = 3\sqrt{3} \times 2 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, можем вычислить ее объем:
$V_{пр} = S_{осн} \times H_{пр} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \times \sqrt{3} \text{ см} = 6 \times (\sqrt{3})^2 \text{ см}^3 = 6 \times 3 \text{ см}^3 = 18$ см$^3$.

Ответ: $18$ см$^3$.

73. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано

Тип фигуры: правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Радиус основания цилиндра: $R = \sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра: $H = \sqrt{3}$ см.

$R = H = \sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$H = \sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V_{призмы}$.

Решение

Объем призмы находится по формуле:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма вписана в цилиндр, ее высота $h$ равна высоте цилиндра $H$:

$h = H = \sqrt{3}$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $a$. Следовательно, сторона шестиугольника равна радиусу основания цилиндра $R$:

$a = R = \sqrt{3}$ см.

Площадь правильного шестиугольника $S_{осн}$ можно вычислить по формуле, зная, что он состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = \sqrt{3}$ см в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь можем вычислить объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{9 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см³.

Ответ: объем правильной шестиугольной призмы равен $13,5$ см³.

74. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около сферы, радиус которой равен $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, описанная около сферы.
Радиус сферы $R = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - это площадь основания, а $h$ - высота призмы.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около сферы, это означает, что сфера вписана в призму. Она касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней.

Высота призмы $h$ в таком случае равна диаметру вписанной сферы:
$h = 2R = 2\sqrt{3}$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Окружность, полученная сечением сферы плоскостью, которая параллельна основаниям и проходит через центр сферы, будет вписана в этот шестиугольник. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу сферы $R$.
$r = R = \sqrt{3}$ см.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r$ и его сторона $a$ связаны соотношением:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Выразим сторону $a$ через радиус $r$:
$\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$a = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле через его сторону $a$:
$S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$
Подставим значение стороны $a = 2$ см:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь можем найти объем призмы, перемножив площадь основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \cdot (\sqrt{3})^2 = 12 \cdot 3 = 36$ см³.

Ответ: $36$ см³.

75. В куб с ребром 6 см вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Ребро куба, $a = 6$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.06$ м.

Найти:

Объем тетраэдра, $V_{т}$.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами. В обоих случаях мы исходим из того, что правильный тетраэдр вписан в куб так, что его вершины — это четыре вершины куба, никакие две из которых не лежат на одном ребре.

Способ 1: Метод вычитания

Объем тетраэдра можно найти, вычтя из объема куба объемы четырех одинаковых пирамид, которые отсекаются по углам куба гранями тетраэдра.

Объем куба ($V_к$) с ребром $a$ равен:
$V_к = a^3 = 6^3 = 216$ см³.

Каждая из четырех отсекаемых пирамид — это прямоугольный тетраэдр. Три ребра такой пирамиды, выходящие из одной вершины куба, взаимно перпендикулярны и равны ребру куба $a$. Объем одной такой пирамиды ($V_п$) равен:
$V_п = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a \cdot a) \cdot a = \frac{a^3}{6}$

Суммарный объем четырех пирамид составляет:
$4 \cdot V_п = 4 \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{2a^3}{3}$

Объем искомого тетраэдра ($V_т$) — это разность объемов куба и четырех пирамид:
$V_т = V_к - 4V_п = a^3 - \frac{2a^3}{3} = \frac{1}{3}a^3$

Подставив значение $a = 6$ см, получаем:
$V_т = \frac{1}{3} \cdot 6^3 = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Способ 2: Через формулу объема правильного тетраэдра

Ребра вписанного тетраэдра являются диагоналями граней куба. Найдем длину ребра тетраэдра ($b$). Если ребро куба равно $a$, то по теореме Пифагора для диагонали грани:
$b = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Объем правильного тетраэдра ($V_т$) с ребром $b$ вычисляется по формуле:
$V_т = \frac{b^3}{6\sqrt{2}}$

Подставим в эту формулу $b = a\sqrt{2}$:
$V_т = \frac{(a\sqrt{2})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3 \cdot 2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3}$

Этот результат полностью совпадает с полученным в первом способе. Вычислим объем для $a = 6$ см:
$V_т = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Ответ: 72 см³.

76. Одно ребро тетраэдра равно 3 см. Все остальные ребра равны 2 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Тетраэдр, у которого одно ребро $a = 3$ см, а остальные пять ребер $b = 2$ см.

В системе СИ:
$a = 0.03$ м
$b = 0.02$ м

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Для удобства вычислений оставим размеры в сантиметрах. Итоговый ответ будет в см$^3$.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Пусть вершины тетраэдра — A, B, C, D. Пусть ребро с длиной 3 см — это $AB$, т.е. $AB = 3$ см. Тогда все остальные ребра равны 2 см: $AC = BC = AD = BD = CD = 2$ см.

В качестве основания тетраэдра выберем треугольник ABC. Его стороны равны $AB = 3$ см, $AC = 2$ см, $BC = 2$ см. Это равнобедренный треугольник.

1. Найдем площадь основания $S_{ABC}$.

Проведем высоту CM к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC=BC), высота CM является также медианой, поэтому точка M — середина отрезка AB. $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора $AC^2 = AM^2 + CM^2$:

$CM^2 = AC^2 - AM^2$

$CM^2 = 2^2 - (1.5)^2 = 4 - 2.25 = 1.75 = \frac{7}{4}$

$CM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту тетраэдра $H$.

Высота тетраэдра $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины D на плоскость основания ABC. Пусть O — основание этого перпендикуляра.

Боковые ребра, исходящие из вершины D к основанию ABC, равны: $DA = DB = DC = 2$ см. Так как вершина D равноудалена от вершин основания A, B, C, ее проекция O на плоскость ABC является центром описанной окружности треугольника ABC.

Радиус $R$ описанной окружности треугольника ABC найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.

$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S_{ABC}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4}} = \frac{12}{3\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{7}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (где $DO = H$, $OA = R$, $DA = 2$ см). По теореме Пифагора $DA^2 = DO^2 + OA^2$:

$H^2 = DA^2 - R^2$

$H^2 = 2^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{7}}\right)^2 = 4 - \frac{16}{7} = \frac{28 - 16}{7} = \frac{12}{7}$

$H = \sqrt{\frac{12}{7}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ см.

3. Вычислим объем тетраэдра $V$.

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Сокращаем в числителе и знаменателе $3$ и $\sqrt{7}$:

$V = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

77. Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 6 см. Найдите объем этой пирамиды.

Дано:

Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат.

Сторона квадрата: $a = 6$ см.

Перевод в СИ:

Сторона квадрата: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

(Для удобства дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах).

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Наиболее распространенная интерпретация данной задачи предполагает, что развертка строится на основе квадрата $ABCD$ со стороной $a=6$ см. На сторонах $BC$ и $CD$ отмечаются их середины — точки $E$ и $F$ соответственно. Вся развертка состоит из четырех треугольников: $△ABE$, $△ADF$, $△CEF$ и центрального треугольника $△AEF$.

При сгибании этой развертки по линиям $AE$, $AF$ и $EF$ треугольник $△AEF$ становится основанием пирамиды. Треугольники $△ABE$, $△ADF$ и $△CEF$ становятся ее боковыми гранями. При этом вершины квадрата $B$, $C$ и $D$ совмещаются в одной точке, которая является вершиной (апексом) пирамиды. Обозначим эту вершину как $P$.

Определим длины боковых ребер пирамиды, которые исходят из вершины $P$.

• Ребро $PA$ формируется из сторон квадрата $AB$ и $AD$. Его длина равна стороне квадрата: $PA = AB = AD = 6$ см.

• Ребро $PE$ формируется из отрезков $BE$ и $CE$. Так как $E$ — середина стороны $BC$, то $BE = CE = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Следовательно, $PE = 3$ см.

• Ребро $PF$ формируется из отрезков $CF$ и $DF$. Так как $F$ — середина стороны $CD$, то $CF = DF = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Следовательно, $PF = 3$ см.

Теперь найдем длины сторон основания пирамиды, треугольника $△AEF$. Каждая сторона этого треугольника является гипотенузой одного из "угловых" прямоугольных треугольников развертки.

• В прямоугольном $△ABE$: $AE^2 = AB^2 + BE^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Таким образом, $AE = \sqrt{45}$ см.

• В прямоугольном $△ADF$: $AF^2 = AD^2 + DF^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Таким образом, $AF = \sqrt{45}$ см.

• В прямоугольном $△CEF$: $EF^2 = CE^2 + CF^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Таким образом, $EF = \sqrt{18}$ см.

Чтобы найти объем, проверим углы между боковыми ребрами в вершине $P$, используя теорему, обратную теореме Пифагора, для боковых граней пирамиды.

• Для грани $△PAE$ со сторонами $PA=6$, $PE=3$, $AE=\sqrt{45}$:$PA^2 + PE^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$.Поскольку $AE^2 = 45$, выполняется равенство $PA^2 + PE^2 = AE^2$. Следовательно, $△PAE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠APE = 90°$.

• Для грани $△PAF$ со сторонами $PA=6$, $PF=3$, $AF=\sqrt{45}$:$PA^2 + PF^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$.Поскольку $AF^2 = 45$, выполняется равенство $PA^2 + PF^2 = AF^2$. Следовательно, $△PAF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠APF = 90°$.

• Для грани $△PEF$ со сторонами $PE=3$, $PF=3$, $EF=\sqrt{18}$:$PE^2 + PF^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.Поскольку $EF^2 = 18$, выполняется равенство $PE^2 + PF^2 = EF^2$. Следовательно, $△PEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠EPF = 90°$.

Мы выяснили, что три боковых ребра $PA$, $PE$, и $PF$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что мы имеем дело с так называемым прямоугольным тетраэдром.

Объем такой пирамиды очень удобно вычислять. Можно принять за основание один из прямоугольных треугольников, сходящихся в вершине $P$, например, $△PEF$. Тогда высотой пирамиды будет третье ребро, перпендикулярное этому основанию, то есть ребро $PA$.

Площадь основания $S_{△PEF}$ равна:$S_{△PEF} = \frac{1}{2} \cdot PE \cdot PF = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \text{ см}^2$.

Высота пирамиды $H$ к этому основанию равна длине ребра $PA$:$H = PA = 6$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{△PEF} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 6 = 4.5 \cdot 2 = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: $9 \text{ см}^3$.

78. Два противолежащих ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3 см и 4 см. Расстояние между ними равно 2 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Длина первого противолежащего ребра тетраэдра, $a = 3$ см
Длина второго противолежащего ребра тетраэдра, $b = 4$ см
Расстояние между этими ребрами, $d = 2$ см
Ребра перпендикулярны, следовательно, угол между ними $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.03$ м
$b = 0.04$ м
$d = 0.02$ м

Найти:

Объем тетраэдра, $V$.

Решение:

Объем тетраэдра можно вычислить по формуле, связывающей длины двух противолежащих (скрещивающихся) ребер, расстояние между ними и угол между ними.

Формула для объема тетраэдра выглядит следующим образом: $V = \frac{1}{6} a b d \sin(\alpha)$ где $a$ и $b$ — длины скрещивающихся ребер, $d$ — кратчайшее расстояние между прямыми, содержащими эти ребра, а $\alpha$ — угол между этими прямыми.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• длина одного ребра $a = 3$ см;
• длина противолежащего ему ребра $b = 4$ см;
• расстояние между этими ребрами $d = 2$ см.

Также указано, что ребра перпендикулярны. Это значит, что угол $\alpha$ между ними составляет $90^\circ$. Синус угла $90^\circ$ равен единице: $\sin(90^\circ) = 1$

Теперь подставим все известные значения в формулу для вычисления объема тетраэдра: $V = \frac{1}{6} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot \sin(90^\circ)$

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 \text{ см}^3$

$V = \frac{24}{6} \text{ см}^3$

$V = 4 \text{ см}^3$

Ответ: объем тетраэдра равен $4 \text{ см}^3$.

79. Единичный тетраэдр ABCD повернут на $60^\circ$ вокруг высоты $DD_1$.
Найдите объем общей части исходного тетраэдра и повернутого.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$ — правильный (единичный).
Длина ребра $a = 1$.
Угол поворота $\alpha = 60^{\circ}$.
Ось вращения — высота $DD_1$.

Найти:

$V_{общ}$ — объём общей части исходного и повернутого тетраэдров.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом Кавальери. Объем тела можно найти как интеграл площадей его поперечных сечений.

Пусть исходный тетраэдр — $T$, а повернутый — $T'$. Мы ищем объем их пересечения $T \cap T'$. Ось вращения $DD_1$ является высотой тетраэдра, опущенной из вершины $D$ на основание $ABC$.

Рассмотрим поперечное сечение тетраэдра $T$ плоскостью, параллельной основанию $ABC$ и находящейся на расстоянии $z$ от него ($0 \le z \le h$, где $h$ — высота тетраэдра $DD_1$). Сечением является равносторонний треугольник, подобный основанию $ABC$. Обозначим его $S(z)$.

При повороте тетраэдра $T$ вокруг высоты $DD_1$ на $60^{\circ}$, его сечение $S(z)$ также повернется на $60^{\circ}$ вокруг своего центра, превратившись в треугольник $S'(z)$. Общая часть тетраэдров $T$ и $T'$ на этом уровне будет представлять собой пересечение треугольников $S(z)$ и $S'(z)$.

Пересечение равностороннего треугольника со своей копией, повернутой на $60^{\circ}$ вокруг центра, является правильным шестиугольником. Найдем соотношение площадей этого шестиугольника и исходного треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника $S(z)$ равна $s$. Если разделить каждую сторону этого треугольника на три равные части, то средний отрезок будет являться стороной вписанного правильного шестиугольника, который образуется при пересечении. Таким образом, сторона шестиугольника $s_h$ равна $s/3$.

Площадь исходного треугольника $S(z)$ равна $A_{\triangle} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь шестиугольника, являющегося пересечением, состоит из 6 маленьких равносторонних треугольников со стороной $s_h = s/3$. Его площадь $A_{\hexagon}$ равна: $A_{\hexagon} = 6 \cdot \frac{s_h^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{(s/3)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{s^2/9 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{6}{9} \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2}{3} A_{\triangle}$.

Таким образом, площадь поперечного сечения общей части тетраэдров $A_{общ}(z)$ составляет $2/3$ от площади поперечного сечения исходного тетраэдра $A_{исх}(z)$ на той же высоте: $A_{общ}(z) = \frac{2}{3} A_{исх}(z)$.

Согласно принципу Кавальери, если площади сечений двух тел на любой высоте относятся как $k$, то и их объемы относятся так же. Следовательно, объем общей части $V_{общ}$ составляет $2/3$ от объема исходного тетраэдра $V_{исх}$: $V_{общ} = \frac{2}{3} V_{исх}$.

Теперь найдем объем исходного единичного тетраэдра $V_{исх}$. Высота $h$ правильного тетраэдра со стороной $a=1$ находится из прямоугольного треугольника, образованного ребром $a$, высотой $h$ и радиусом $R$ описанной окружности основания. $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a=1$): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Объем исходного тетраэдра: $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{12} \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Наконец, находим объем общей части: $V_{общ} = \frac{2}{3} V_{исх} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{18}$.

Ответ: $V_{общ} = \frac{\sqrt{2}}{18}$.

80. От четырехугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечены четыре треугольные пирамиды плоскостями, проходящими через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

Дано:

Объем исходной четырехугольной пирамиды $V_{пир} = 12 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем оставшейся части пирамиды $V_{ост}$.

Решение:

Пусть дана четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — четырехугольник в основании. Высота пирамиды равна $h$.

Объем исходной пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$, где $S_{ABCD}$ — площадь основания.

По условию, от пирамиды отсекают четыре треугольные пирамиды. Каждая отсекающая плоскость проходит через вершину пирамиды $S$ и середины двух смежных сторон основания.

Рассмотрим один из углов основания, например, угол $B$. Смежные стороны, образующие этот угол, — $AB$ и $BC$. Пусть $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Одна из отсеченных пирамид — это пирамида $S-BKL$ с вершиной $S$ и основанием — треугольником $BKL$. Высота этой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды и равна $h$.

Всего отсекается четыре такие пирамиды по одной у каждой вершины основания $A, B, C, D$.

Найдем суммарный объем отсеченных частей. Для этого сначала найдем суммарную площадь оснований этих малых пирамид.

Площадь треугольника $BKL$ можно выразить через площадь треугольника $ABC$ (образованного диагональю $AC$):

$S_{BKL} = \frac{1}{2} BK \cdot BL \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)\right) = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Аналогично, для треугольника у вершины $D$ (пусть $M$ и $N$ — середины $CD$ и $DA$ соответственно) его площадь равна:

$S_{DMN} = \frac{1}{4} S_{ADC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников:

$S_{BKL} + S_{DMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} + \frac{1}{4} S_{ADC} = \frac{1}{4} (S_{ABC} + S_{ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Точно так же, рассмотрев два других угла ($A$ и $C$) и диагональ $BD$, получим, что сумма площадей треугольников у вершин $A$ и $C$ также равна $\frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Таким образом, общая площадь оснований всех четырех отсеченных пирамид ($S_{отсеч.осн.}$) равна:

$S_{отсеч.осн.} = (\frac{1}{4} S_{ABCD}) + (\frac{1}{4} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Суммарный объем всех четырех отсеченных пирамид ($V_{отсеч}$) равен:

$V_{отсеч} = \frac{1}{3} S_{отсеч.осн.} \cdot h = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h\right)$.

Так как $\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = V_{пир}$, то:

$V_{отсеч} = \frac{1}{2} V_{пир}$.

Оставшаяся часть пирамиды — это центральная пирамида, объем которой равен разности объемов исходной пирамиды и суммы объемов отсеченных пирамид:

$V_{ост} = V_{пир} - V_{отсеч} = V_{пир} - \frac{1}{2} V_{пир} = \frac{1}{2} V_{пир}$.

Подставим известное значение объема исходной пирамиды:

$V_{ост} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.

Ответ: 6 см³.

81. Центры граней куба, ребро которого равно 6 см, служат вершинами

октаэдра. Найдите его объем.

Дано:

Ребро куба $a = 6$ см.

В системе СИ: $a = 0.06$ м.

Найти:

Объем октаэдра $V_{окт}$.

Решение:

Вершинами октаэдра являются центры шести граней куба. Октаэдр, вписанный таким образом в куб, является правильным многогранником. Этот октаэдр можно представить как две одинаковые четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями.

Основание этих пирамид — это квадрат, вершины которого являются центрами четырех боковых граней куба. Вершинами (апексами) пирамид являются центры верхней и нижней граней куба.

Пусть ребро куба равно $a$.

Высота каждой из пирамид, $h$, равна половине ребра куба, так как она равна расстоянию от центра куба до центра грани: $h = \frac{a}{2}$.

Основание пирамиды — это квадрат. Диагонали этого квадрата соединяют центры противоположных боковых граней куба. Длина каждой такой диагонали равна ребру куба $a$. Площадь квадрата ($S_{осн}$) может быть вычислена через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле $S = \frac{d_1 d_2}{2}$. В нашем случае $d_1 = d_2 = a$, поэтому:

$S_{осн} = \frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}$

Объем одной пирамиды ($V_{пир}$) вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{12}$

Объем всего октаэдра ($V_{окт}$) равен объему двух таких пирамид:

$V_{окт} = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{a^3}{6}$

Подставим данное значение ребра куба $a = 6$ см:

$V_{окт} = \frac{6^3}{6} = 6^2 = 36$ см$^3$.

Альтернативный способ решения:

Объем октаэдра можно вычислить по формуле через длины его трех взаимно перпендикулярных диагоналей ($d_1, d_2, d_3$):

$V_{окт} = \frac{1}{6} d_1 d_2 d_3$

Диагонали октаэдра соединяют его противоположные вершины, которые являются центрами противоположных граней куба. Поэтому длина каждой диагонали октаэдра равна ребру куба $a$.

$d_1 = d_2 = d_3 = a = 6$ см.

Тогда объем октаэдра равен:

$V_{окт} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36$ см$^3$.

Ответ: $36$ см$^3$.

82. Найдите объем куба, вписанного в октаэдр, ребра которого равны 3 см.

Дано:

Правильный октаэдр, ребро которого $L = 3$ см.
В октаэдр вписан куб.

Перевод в СИ:

$L = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$.

Найти:

Объем вписанного куба $V_{куба}$.

Решение:

Для решения задачи разместим центр правильного октаэдра в начале координат $O(0, 0, 0)$ так, чтобы его вершины лежали на осях координат.

Пусть вершины октаэдра имеют координаты $(\pm d, 0, 0)$, $(0, \pm d, 0)$, $(0, 0, \pm d)$. Ребро октаэдра $L$ соединяет любые две соседние вершины. Найдем его длину, например, между вершинами $(d, 0, 0)$ и $(0, d, 0)$, используя формулу расстояния между точками: $L = \sqrt{(d-0)^2 + (0-d)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}$.

Из условия задачи известно, что $L = 3$ см. Выразим отсюда величину $d$: $d = \frac{L}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ см}$.

Грани октаэдра являются плоскостями. Уравнение грани, расположенной в первом октанте (проходящей через вершины $(d, 0, 0)$, $(0, d, 0)$ и $(0, 0, d)$), в отрезках на осях имеет вид: $\frac{x}{d} + \frac{y}{d} + \frac{z}{d} = 1$, что эквивалентно $x + y + z = d$.

По соображениям симметрии, вписанный куб также будет центрирован в начале координат, а его грани будут параллельны координатным плоскостям. Обозначим длину ребра куба как $a$. Тогда координаты вершин куба будут $(\pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})$.

Поскольку куб вписан в октаэдр, его вершины должны лежать на гранях октаэдра. Рассмотрим вершину куба в первом октанте с координатами $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. Эта точка должна удовлетворять уравнению плоскости соответствующей грани октаэдра: $\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = d$ $\frac{3a}{2} = d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $d$: $d = \frac{3}{\sqrt{2}}$ $d = \frac{3a}{2}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти длину ребра куба $a$: $\frac{3a}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ $a = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Наконец, вычислим объем куба $V_{куба}$ по формуле $V = a^3$: $V_{куба} = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $2\sqrt{2} \text{ см}^3$.

83. В каждой грани куба с ребром 6 см проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 2 см. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Ребро куба, $a = 6 \text{ см}$
Сторона квадратного отверстия, $b = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части куба, $V_{ост} - ?$

Решение:

Для нахождения объема оставшейся части необходимо из первоначального объема куба вычесть объем удаленной части.

1. Найдем первоначальный объем куба ($V_{куба}$). Объем куба вычисляется по формуле:$V_{куба} = a^3$Подставим значение ребра куба:$V_{куба} = 6^3 = 216 \text{ см}^3$

2. Теперь найдем объем удаленной части ($V_{удал}$). В кубе сделано три сквозных отверстия, проходящих через центр перпендикулярно граням. Каждое отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед (квадратную призму) с основанием $b \times b$ и длиной, равной ребру куба $a$.

Так как отверстия пересекаются друг с другом, мы не можем просто сложить их объемы. Удобнее всего посчитать объем удаленной части, используя принцип включений-исключений или разбив удаленную фигуру на более простые части.

Способ 1: Принцип включений-исключений.

Объем объединения трех пересекающихся тел ($V_x, V_y, V_z$) вычисляется по формуле:$V_{удал} = V_x + V_y + V_z - (V_{x \cap y} + V_{x \cap z} + V_{y \cap z}) + V_{x \cap y \cap z}$

- Объем одного отверстия (призмы): $V_x = V_y = V_z = b^2 \cdot a = 2^2 \cdot 6 = 24 \text{ см}^3$.

- Область пересечения двух отверстий (например, $V_{x \cap y}$) — это куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{x \cap y} = b^3 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$. Таких пересечений три.

- Область пересечения всех трех отверстий ($V_{x \cap y \cap z}$) — это центральный куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{x \cap y \cap z} = b^3 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

Теперь подставим все значения в формулу:$V_{удал} = (3 \cdot 24) - (3 \cdot 8) + 8 = 72 - 24 + 8 = 56 \text{ см}^3$.

Способ 2: Метод декомпозиции.

Представим удаленную часть как состоящую из центрального куба и шести призм ("лучей"), отходящих от его граней.

- В центре куба вырезана область, где пересекаются все три отверстия. Эта область — куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{центр} = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

- От каждой грани этого центрального куба к соответствующей грани большого куба идет "луч" - призма. Длина каждого такого луча равна $(a - b) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2 \text{ см}$. Сечение луча $2 \times 2 \text{ см}$. Таким образом, каждый из шести лучей также является кубом со стороной 2 см.

- Объем одного луча: $V_{луч} = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

- Суммарный объем шести лучей: $V_{лучи} = 6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^3$.

- Общий объем удаленной части: $V_{удал} = V_{центр} + V_{лучи} = 8 + 48 = 56 \text{ см}^3$.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба ($V_{ост}$), вычитая из начального объема объем удаленной части:$V_{ост} = V_{куба} - V_{удал}$$V_{ост} = 216 - 56 = 160 \text{ см}^3$

Ответ: $160 \text{ см}^3$.

84. Через каждое ребро единичного куба, перпендикулярно плоскости, проходящей через это ребро и центр куба, проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Единичный куб, длина ребра $a = 1$.

Найти:

Объем многогранника, ограниченного заданными плоскостями, $V$.

Решение:

Расположим единичный куб в системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$, а его грани были параллельны координатным плоскостям. В этом случае вершины куба будут иметь координаты $(\pm 1/2, \pm 1/2, \pm 1/2)$. Длина ребра куба $a=1$.

Рассмотрим одно из 12 ребер куба. Пусть это ребро, соединяющее вершины $A(1/2, -1/2, -1/2)$ и $B(1/2, 1/2, -1/2)$. Это ребро параллельно оси $Oy$.

Найдем уравнение плоскости $\Pi_1$, проходящей через это ребро и центр куба $O(0,0,0)$. Нормальный вектор $\vec{n}_1$ к этой плоскости перпендикулярен вектору ребра $\vec{AB} = (0, 1, 0)$ и вектору, соединяющему начало координат с любой точкой ребра, например, с его серединой $M(1/2, 0, -1/2)$. Вектор $\vec{OM} = (1/2, 0, -1/2)$.

Найдем $\vec{n}_1$ как векторное произведение:

$\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{OM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 1/2) = (-1/2, 0, -1/2)$.

В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 0, 1)$. Уравнение плоскости $\Pi_1$ имеет вид $x+z=D$. Так как плоскость проходит через начало координат, $D=0$. Итак, уравнение плоскости $\Pi_1$: $x+z=0$.

Теперь найдем уравнение плоскости $\Pi_2$, которая, согласно условию, проходит через то же ребро $AB$ и перпендикулярна плоскости $\Pi_1$. Нормальный вектор $\vec{n}_2$ плоскости $\Pi_2$ должен быть перпендикулярен вектору ребра $\vec{AB}=(0,1,0)$ и нормальному вектору плоскости $\Pi_1$, т.е. $\vec{n}_1=(1,0,1)$.

Найдем $\vec{n}_2$ как их векторное произведение:

$\vec{n}_2 = \vec{AB} \times \vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 1) = (1, 0, -1)$.

Уравнение плоскости $\Pi_2$ имеет вид $x-z=C$. Чтобы найти $C$, подставим координаты любой точки ребра, например $A(1/2, -1/2, -1/2)$:

$1/2 - (-1/2) = C \Rightarrow C = 1$.

Таким образом, для выбранного ребра искомая плоскость задается уравнением $x-z=1$.

В кубе 12 ребер. Проводя аналогичные рассуждения для каждого ребра, мы получим 12 плоскостей. В силу симметрии куба, уравнения этих плоскостей будут иметь вид:

$x \pm y = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Oz$)

$x \pm z = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Oy$)

$y \pm z = \pm 1$ (4 плоскости для ребер, параллельных оси $Ox$)

Эти 12 плоскостей ограничивают многогранник, который является ромбододекаэдром. Для нахождения его объема представим его как комбинацию тел. Исходный единичный куб с вершинами $(\pm 1/2, \pm 1/2, \pm 1/2)$ целиком лежит внутри этого многогранника. Его объем равен $V_{куба} = a^3 = 1^3 = 1$.

Многогранник можно представить как исходный куб, на каждой из шести граней которого построена пирамида. Рассмотрим пирамиду, построенную на грани куба $x=1/2$.

Основанием этой пирамиды является грань куба — квадрат со стороной $a=1$ и площадью $S_{осн} = a^2 = 1$. Вершиной этой пирамиды является вершина ромбододекаэдра $(1,0,0)$, которая является точкой пересечения плоскостей $x+y=1, x-y=1, x+z=1$ и $x-z=1$. Высота пирамиды $h$ — это расстояние от ее вершины $(1,0,0)$ до плоскости основания $x=1/2$.

$h = 1 - 1/2 = 1/2$.

Объем одной такой пирамиды равен:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Так как у куба 6 граней, то всего таких пирамид 6. Их суммарный объем:

$V_{пирамид} = 6 \cdot V_{пир} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$.

Искомый объем многогранника $V$ равен сумме объема исходного куба и объемов шести пирамид:

$V = V_{куба} + V_{пирамид} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

85. Через каждое ребро единичного тетраэдра параллельно противолежащему ребру проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Задан единичный тетраэдр, то есть правильный тетраэдр, у которого все ребра равны 1. Обозначим длину ребра как $a$.

$a = 1$

Так как длина ребра задана в безразмерных единицах, перевод в систему СИ не требуется. Объем также будет выражен в соответствующих кубических единицах.

Найти:

Объем $V$ многогранника, ограниченного шестью плоскостями, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра параллельно противолежащему ребру.

Решение:

Для решения задачи удобно вписать правильный тетраэдр в куб. Пусть куб имеет центр в начале координат, а его грани параллельны координатным плоскостям. Сторону куба обозначим $L$. Тогда его вершины будут иметь координаты $(\pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2})$. Выберем четыре вершины куба, не являющиеся смежными, в качестве вершин тетраэдра. Обозначим их $A, B, C, D$.

$A = (\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, \frac{L}{2})$

$B = (\frac{L}{2}, -\frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$

$C = (-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$

$D = (-\frac{L}{2}, -\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$

Вычислим квадрат длины ребра $a$ такого тетраэдра. В силу симметрии все ребра имеют одинаковую длину. Возьмем, к примеру, ребро $AB$:

$a^2 = |\vec{AB}|^2 = (\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 + (-\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 + (-\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 = 0^2 + (-L)^2 + (-L)^2 = 2L^2$.

Следовательно, длина ребра тетраэдра связана со стороной описанного куба соотношением $a = L\sqrt{2}$.

По условию задачи тетраэдр единичный, то есть $a=1$. Тогда сторона куба равна:

$L = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь докажем, что шесть плоскостей, описанных в условии, являются гранями этого куба. У тетраэдра есть три пары противолежащих ребер: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.

1. Пара ребер AB и CD.

Плоскость, проходящая через ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, содержит точку $A$ и параллельна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

$\vec{AB} = (0, -L, -L)$

$\vec{CD} = (0, -L, L)$

Нормальный вектор $\vec{n}_1$ к этой плоскости можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n}_1 \propto \vec{AB} \times \vec{CD} = (0, -1, -1) \times (0, -1, 1) = (-2, 0, 0)$.

Вектор нормали параллелен оси Ox, например $\vec{n}=(1,0,0)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, \frac{L}{2})$: $1 \cdot (x - \frac{L}{2}) = 0$, то есть $x = \frac{L}{2}$.

Плоскость, проходящая через ребро $CD$ параллельно $AB$, имеет тот же нормальный вектор и проходит через точку $C(-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$. Ее уравнение: $1 \cdot (x - (-\frac{L}{2})) = 0$, то есть $x = -\frac{L}{2}$.

Эти две плоскости $x=\pm\frac{L}{2}$ являются двумя противоположными гранями куба.

2. Пара ребер AC и BD.

$\vec{AC} = (-L, 0, -L)$, $\vec{BD} = (-L, 0, L)$. Нормальный вектор к плоскостям будет параллелен оси Oy. Проведя аналогичные вычисления, получим уравнения плоскостей $y=\frac{L}{2}$ и $y=-\frac{L}{2}$. Это еще две грани куба.

3. Пара ребер AD и BC.

$\vec{AD} = (-L, -L, 0)$, $\vec{BC} = (-L, L, 0)$. Нормальный вектор к плоскостям будет параллелен оси Oz. Уравнения плоскостей: $z=\frac{L}{2}$ и $z=-\frac{L}{2}$. Это последние две грани куба.

Таким образом, шесть заданных плоскостей образуют куб со стороной $L$. Искомый многогранник — это куб.

Зная, что $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем найти объем этого куба:

$V = L^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1}{(\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$V = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Объем многогранника равен $\frac{\sqrt{2}}{4}$ кубических единиц.

86. Через каждую вершину тетраэдра, объем которого равен $1 \text{ см}^3$, параллельно противолежащей грани проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Объем исходного тетраэдра $V_{T} = 1 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$V_{T} = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_{P}$ - объем многогранника, ограниченного построенными плоскостями.

Решение:

Пусть исходный тетраэдр обозначается как $T$ с вершинами $A, B, C, D$. Его объем $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Через каждую вершину тетраэдра ($A, B, C, D$) проводится плоскость, параллельная противолежащей грани. Обозначим эти плоскости соответственно $\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D$. Например, $\pi_A$ – это плоскость, проходящая через вершину $A$ параллельно грани $BCD$.

Эти четыре плоскости ограничивают в пространстве новый многогранник $P$. Так как он ограничен четырьмя плоскостями, этот многогранник также является тетраэдром. Назовем его большим тетраэдром.

Для нахождения объема $V_P$ нового тетраэдра $P$ наиболее просто воспользоваться методом гомотетии (центрального подобия).

Пусть $M$ – центроид (центр масс) исходного тетраэдра $T$. Известно, что центроид делит отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, в отношении 3:1, считая от вершины.

Рассмотрим, например, вершину $D$ и противолежащую ей грань $ABC$. Пусть $M_{ABC}$ – центроид грани $ABC$. Точки $D, M, M_{ABC}$ лежат на одной прямой, причем $M$ находится между $D$ и $M_{ABC}$. Соотношение векторов, выходящих из центра масс $M$, будет следующим: $\vec{MD} = -3 \cdot \vec{MM_{ABC}}$.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -3$.

Эта гомотетия отображает точку $M_{ABC}$ в точку $D$, так как по определению гомотетии образ точки $M_{ABC}$ есть точка $M_{ABC}' = M + k \cdot (M_{ABC} - M) = M - 3 \cdot \vec{MM_{ABC}} = M + \vec{MD} = D$.

Гомотетия отображает любую плоскость в параллельную ей плоскость. Так как точка $M_{ABC}$ лежит в плоскости грани $ABC$, ее образ, точка $D$, будет лежать в образе этой плоскости. Таким образом, гомотетия $H$ отображает плоскость грани $ABC$ в параллельную ей плоскость, проходящую через точку $D$. По условию задачи, это и есть плоскость $\pi_D$.

Аналогично можно показать, что гомотетия $H(M, -3)$ отображает плоскости граней $BCD, ACD, ABD$ в плоскости $\pi_A, \pi_B, \pi_C$ соответственно.

Таким образом, большой тетраэдр $P$, ограниченный плоскостями $\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D$, является образом исходного тетраэдра $T$ при гомотетии с центром в его центроиде и коэффициентом $k = -3$.

При гомотетии с коэффициентом $k$ объем тела изменяется в $|k|^3$ раз. Следовательно, объем нового тетраэдра $V_P$ связан с объемом исходного тетраэдра $V_T$ соотношением:

$V_P = |k|^3 \cdot V_T$

Подставляя значения $k = -3$ и $V_T = 1 \text{ см}^3$, получаем:

$V_P = |-3|^3 \cdot 1 \text{ см}^3 = 3^3 \cdot 1 \text{ см}^3 = 27 \cdot 1 \text{ см}^3 = 27 \text{ см}^3$.

Ответ: $27 \text{ см}^3$.