Номер 75, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

75. В куб с ребром 6 см вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Ребро куба, $a = 6$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.06$ м.

Найти:

Объем тетраэдра, $V_{т}$.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами. В обоих случаях мы исходим из того, что правильный тетраэдр вписан в куб так, что его вершины — это четыре вершины куба, никакие две из которых не лежат на одном ребре.

Способ 1: Метод вычитания

Объем тетраэдра можно найти, вычтя из объема куба объемы четырех одинаковых пирамид, которые отсекаются по углам куба гранями тетраэдра.

Объем куба ($V_к$) с ребром $a$ равен:
$V_к = a^3 = 6^3 = 216$ см³.

Каждая из четырех отсекаемых пирамид — это прямоугольный тетраэдр. Три ребра такой пирамиды, выходящие из одной вершины куба, взаимно перпендикулярны и равны ребру куба $a$. Объем одной такой пирамиды ($V_п$) равен:
$V_п = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a \cdot a) \cdot a = \frac{a^3}{6}$

Суммарный объем четырех пирамид составляет:
$4 \cdot V_п = 4 \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{2a^3}{3}$

Объем искомого тетраэдра ($V_т$) — это разность объемов куба и четырех пирамид:
$V_т = V_к - 4V_п = a^3 - \frac{2a^3}{3} = \frac{1}{3}a^3$

Подставив значение $a = 6$ см, получаем:
$V_т = \frac{1}{3} \cdot 6^3 = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Способ 2: Через формулу объема правильного тетраэдра

Ребра вписанного тетраэдра являются диагоналями граней куба. Найдем длину ребра тетраэдра ($b$). Если ребро куба равно $a$, то по теореме Пифагора для диагонали грани:
$b = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Объем правильного тетраэдра ($V_т$) с ребром $b$ вычисляется по формуле:
$V_т = \frac{b^3}{6\sqrt{2}}$

Подставим в эту формулу $b = a\sqrt{2}$:
$V_т = \frac{(a\sqrt{2})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3 \cdot 2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3}$

Этот результат полностью совпадает с полученным в первом способе. Вычислим объем для $a = 6$ см:
$V_т = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Ответ: 72 см³.