Номер 82, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

82. Найдите объем куба, вписанного в октаэдр, ребра которого равны 3 см.

Дано:

Правильный октаэдр, ребро которого $L = 3$ см.
В октаэдр вписан куб.

Перевод в СИ:

$L = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$.

Найти:

Объем вписанного куба $V_{куба}$.

Решение:

Для решения задачи разместим центр правильного октаэдра в начале координат $O(0, 0, 0)$ так, чтобы его вершины лежали на осях координат.

Пусть вершины октаэдра имеют координаты $(\pm d, 0, 0)$, $(0, \pm d, 0)$, $(0, 0, \pm d)$. Ребро октаэдра $L$ соединяет любые две соседние вершины. Найдем его длину, например, между вершинами $(d, 0, 0)$ и $(0, d, 0)$, используя формулу расстояния между точками: $L = \sqrt{(d-0)^2 + (0-d)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}$.

Из условия задачи известно, что $L = 3$ см. Выразим отсюда величину $d$: $d = \frac{L}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ см}$.

Грани октаэдра являются плоскостями. Уравнение грани, расположенной в первом октанте (проходящей через вершины $(d, 0, 0)$, $(0, d, 0)$ и $(0, 0, d)$), в отрезках на осях имеет вид: $\frac{x}{d} + \frac{y}{d} + \frac{z}{d} = 1$, что эквивалентно $x + y + z = d$.

По соображениям симметрии, вписанный куб также будет центрирован в начале координат, а его грани будут параллельны координатным плоскостям. Обозначим длину ребра куба как $a$. Тогда координаты вершин куба будут $(\pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})$.

Поскольку куб вписан в октаэдр, его вершины должны лежать на гранях октаэдра. Рассмотрим вершину куба в первом октанте с координатами $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. Эта точка должна удовлетворять уравнению плоскости соответствующей грани октаэдра: $\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = d$ $\frac{3a}{2} = d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $d$: $d = \frac{3}{\sqrt{2}}$ $d = \frac{3a}{2}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти длину ребра куба $a$: $\frac{3a}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ $a = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ см}$.

Наконец, вычислим объем куба $V_{куба}$ по формуле $V = a^3$: $V_{куба} = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $2\sqrt{2} \text{ см}^3$.