Номер 76, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

76. Одно ребро тетраэдра равно 3 см. Все остальные ребра равны 2 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Тетраэдр, у которого одно ребро $a = 3$ см, а остальные пять ребер $b = 2$ см.

В системе СИ:
$a = 0.03$ м
$b = 0.02$ м

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Для удобства вычислений оставим размеры в сантиметрах. Итоговый ответ будет в см$^3$.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Пусть вершины тетраэдра — A, B, C, D. Пусть ребро с длиной 3 см — это $AB$, т.е. $AB = 3$ см. Тогда все остальные ребра равны 2 см: $AC = BC = AD = BD = CD = 2$ см.

В качестве основания тетраэдра выберем треугольник ABC. Его стороны равны $AB = 3$ см, $AC = 2$ см, $BC = 2$ см. Это равнобедренный треугольник.

1. Найдем площадь основания $S_{ABC}$.

Проведем высоту CM к основанию AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC=BC), высота CM является также медианой, поэтому точка M — середина отрезка AB. $AM = \frac{1}{2} AB = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора $AC^2 = AM^2 + CM^2$:

$CM^2 = AC^2 - AM^2$

$CM^2 = 2^2 - (1.5)^2 = 4 - 2.25 = 1.75 = \frac{7}{4}$

$CM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту тетраэдра $H$.

Высота тетраэдра $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины D на плоскость основания ABC. Пусть O — основание этого перпендикуляра.

Боковые ребра, исходящие из вершины D к основанию ABC, равны: $DA = DB = DC = 2$ см. Так как вершина D равноудалена от вершин основания A, B, C, ее проекция O на плоскость ABC является центром описанной окружности треугольника ABC.

Радиус $R$ описанной окружности треугольника ABC найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.

$R = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4S_{ABC}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4}} = \frac{12}{3\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{7}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (где $DO = H$, $OA = R$, $DA = 2$ см). По теореме Пифагора $DA^2 = DO^2 + OA^2$:

$H^2 = DA^2 - R^2$

$H^2 = 2^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{7}}\right)^2 = 4 - \frac{16}{7} = \frac{28 - 16}{7} = \frac{12}{7}$

$H = \sqrt{\frac{12}{7}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ см.

3. Вычислим объем тетраэдра $V$.

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Сокращаем в числителе и знаменателе $3$ и $\sqrt{7}$:

$V = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.