Номер 77, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

77. Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 6 см. Найдите объем этой пирамиды.

Дано:

Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат.

Сторона квадрата: $a = 6$ см.

Перевод в СИ:

Сторона квадрата: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

(Для удобства дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах).

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Наиболее распространенная интерпретация данной задачи предполагает, что развертка строится на основе квадрата $ABCD$ со стороной $a=6$ см. На сторонах $BC$ и $CD$ отмечаются их середины — точки $E$ и $F$ соответственно. Вся развертка состоит из четырех треугольников: $△ABE$, $△ADF$, $△CEF$ и центрального треугольника $△AEF$.

При сгибании этой развертки по линиям $AE$, $AF$ и $EF$ треугольник $△AEF$ становится основанием пирамиды. Треугольники $△ABE$, $△ADF$ и $△CEF$ становятся ее боковыми гранями. При этом вершины квадрата $B$, $C$ и $D$ совмещаются в одной точке, которая является вершиной (апексом) пирамиды. Обозначим эту вершину как $P$.

Определим длины боковых ребер пирамиды, которые исходят из вершины $P$.

• Ребро $PA$ формируется из сторон квадрата $AB$ и $AD$. Его длина равна стороне квадрата: $PA = AB = AD = 6$ см.

• Ребро $PE$ формируется из отрезков $BE$ и $CE$. Так как $E$ — середина стороны $BC$, то $BE = CE = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Следовательно, $PE = 3$ см.

• Ребро $PF$ формируется из отрезков $CF$ и $DF$. Так как $F$ — середина стороны $CD$, то $CF = DF = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Следовательно, $PF = 3$ см.

Теперь найдем длины сторон основания пирамиды, треугольника $△AEF$. Каждая сторона этого треугольника является гипотенузой одного из "угловых" прямоугольных треугольников развертки.

• В прямоугольном $△ABE$: $AE^2 = AB^2 + BE^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Таким образом, $AE = \sqrt{45}$ см.

• В прямоугольном $△ADF$: $AF^2 = AD^2 + DF^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Таким образом, $AF = \sqrt{45}$ см.

• В прямоугольном $△CEF$: $EF^2 = CE^2 + CF^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Таким образом, $EF = \sqrt{18}$ см.

Чтобы найти объем, проверим углы между боковыми ребрами в вершине $P$, используя теорему, обратную теореме Пифагора, для боковых граней пирамиды.

• Для грани $△PAE$ со сторонами $PA=6$, $PE=3$, $AE=\sqrt{45}$:$PA^2 + PE^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$.Поскольку $AE^2 = 45$, выполняется равенство $PA^2 + PE^2 = AE^2$. Следовательно, $△PAE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠APE = 90°$.

• Для грани $△PAF$ со сторонами $PA=6$, $PF=3$, $AF=\sqrt{45}$:$PA^2 + PF^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$.Поскольку $AF^2 = 45$, выполняется равенство $PA^2 + PF^2 = AF^2$. Следовательно, $△PAF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠APF = 90°$.

• Для грани $△PEF$ со сторонами $PE=3$, $PF=3$, $EF=\sqrt{18}$:$PE^2 + PF^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.Поскольку $EF^2 = 18$, выполняется равенство $PE^2 + PF^2 = EF^2$. Следовательно, $△PEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $∠EPF = 90°$.

Мы выяснили, что три боковых ребра $PA$, $PE$, и $PF$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что мы имеем дело с так называемым прямоугольным тетраэдром.

Объем такой пирамиды очень удобно вычислять. Можно принять за основание один из прямоугольных треугольников, сходящихся в вершине $P$, например, $△PEF$. Тогда высотой пирамиды будет третье ребро, перпендикулярное этому основанию, то есть ребро $PA$.

Площадь основания $S_{△PEF}$ равна:$S_{△PEF} = \frac{1}{2} \cdot PE \cdot PF = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \text{ см}^2$.

Высота пирамиды $H$ к этому основанию равна длине ребра $PA$:$H = PA = 6$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{△PEF} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 6 = 4.5 \cdot 2 = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: $9 \text{ см}^3$.