Номер 81, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

81. Центры граней куба, ребро которого равно 6 см, служат вершинами

октаэдра. Найдите его объем.

Дано:

Ребро куба $a = 6$ см.

В системе СИ: $a = 0.06$ м.

Найти:

Объем октаэдра $V_{окт}$.

Решение:

Вершинами октаэдра являются центры шести граней куба. Октаэдр, вписанный таким образом в куб, является правильным многогранником. Этот октаэдр можно представить как две одинаковые четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями.

Основание этих пирамид — это квадрат, вершины которого являются центрами четырех боковых граней куба. Вершинами (апексами) пирамид являются центры верхней и нижней граней куба.

Пусть ребро куба равно $a$.

Высота каждой из пирамид, $h$, равна половине ребра куба, так как она равна расстоянию от центра куба до центра грани: $h = \frac{a}{2}$.

Основание пирамиды — это квадрат. Диагонали этого квадрата соединяют центры противоположных боковых граней куба. Длина каждой такой диагонали равна ребру куба $a$. Площадь квадрата ($S_{осн}$) может быть вычислена через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле $S = \frac{d_1 d_2}{2}$. В нашем случае $d_1 = d_2 = a$, поэтому:

$S_{осн} = \frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}$

Объем одной пирамиды ($V_{пир}$) вычисляется по формуле:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{12}$

Объем всего октаэдра ($V_{окт}$) равен объему двух таких пирамид:

$V_{окт} = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{a^3}{6}$

Подставим данное значение ребра куба $a = 6$ см:

$V_{окт} = \frac{6^3}{6} = 6^2 = 36$ см$^3$.

Альтернативный способ решения:

Объем октаэдра можно вычислить по формуле через длины его трех взаимно перпендикулярных диагоналей ($d_1, d_2, d_3$):

$V_{окт} = \frac{1}{6} d_1 d_2 d_3$

Диагонали октаэдра соединяют его противоположные вершины, которые являются центрами противоположных граней куба. Поэтому длина каждой диагонали октаэдра равна ребру куба $a$.

$d_1 = d_2 = d_3 = a = 6$ см.

Тогда объем октаэдра равен:

$V_{окт} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36$ см$^3$.

Ответ: $36$ см$^3$.