Номер 85, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

85. Через каждое ребро единичного тетраэдра параллельно противолежащему ребру проведена плоскость. Найдите объем многогранника, ограниченного этими плоскостями.

Дано:

Задан единичный тетраэдр, то есть правильный тетраэдр, у которого все ребра равны 1. Обозначим длину ребра как $a$.

$a = 1$

Так как длина ребра задана в безразмерных единицах, перевод в систему СИ не требуется. Объем также будет выражен в соответствующих кубических единицах.

Найти:

Объем $V$ многогранника, ограниченного шестью плоскостями, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра параллельно противолежащему ребру.

Решение:

Для решения задачи удобно вписать правильный тетраэдр в куб. Пусть куб имеет центр в начале координат, а его грани параллельны координатным плоскостям. Сторону куба обозначим $L$. Тогда его вершины будут иметь координаты $(\pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2}, \pm \frac{L}{2})$. Выберем четыре вершины куба, не являющиеся смежными, в качестве вершин тетраэдра. Обозначим их $A, B, C, D$.

$A = (\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, \frac{L}{2})$

$B = (\frac{L}{2}, -\frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$

$C = (-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$

$D = (-\frac{L}{2}, -\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$

Вычислим квадрат длины ребра $a$ такого тетраэдра. В силу симметрии все ребра имеют одинаковую длину. Возьмем, к примеру, ребро $AB$:

$a^2 = |\vec{AB}|^2 = (\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 + (-\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 + (-\frac{L}{2} - \frac{L}{2})^2 = 0^2 + (-L)^2 + (-L)^2 = 2L^2$.

Следовательно, длина ребра тетраэдра связана со стороной описанного куба соотношением $a = L\sqrt{2}$.

По условию задачи тетраэдр единичный, то есть $a=1$. Тогда сторона куба равна:

$L = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь докажем, что шесть плоскостей, описанных в условии, являются гранями этого куба. У тетраэдра есть три пары противолежащих ребер: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.

1. Пара ребер AB и CD.

Плоскость, проходящая через ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, содержит точку $A$ и параллельна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

$\vec{AB} = (0, -L, -L)$

$\vec{CD} = (0, -L, L)$

Нормальный вектор $\vec{n}_1$ к этой плоскости можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n}_1 \propto \vec{AB} \times \vec{CD} = (0, -1, -1) \times (0, -1, 1) = (-2, 0, 0)$.

Вектор нормали параллелен оси Ox, например $\vec{n}=(1,0,0)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, \frac{L}{2})$: $1 \cdot (x - \frac{L}{2}) = 0$, то есть $x = \frac{L}{2}$.

Плоскость, проходящая через ребро $CD$ параллельно $AB$, имеет тот же нормальный вектор и проходит через точку $C(-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}, -\frac{L}{2})$. Ее уравнение: $1 \cdot (x - (-\frac{L}{2})) = 0$, то есть $x = -\frac{L}{2}$.

Эти две плоскости $x=\pm\frac{L}{2}$ являются двумя противоположными гранями куба.

2. Пара ребер AC и BD.

$\vec{AC} = (-L, 0, -L)$, $\vec{BD} = (-L, 0, L)$. Нормальный вектор к плоскостям будет параллелен оси Oy. Проведя аналогичные вычисления, получим уравнения плоскостей $y=\frac{L}{2}$ и $y=-\frac{L}{2}$. Это еще две грани куба.

3. Пара ребер AD и BC.

$\vec{AD} = (-L, -L, 0)$, $\vec{BC} = (-L, L, 0)$. Нормальный вектор к плоскостям будет параллелен оси Oz. Уравнения плоскостей: $z=\frac{L}{2}$ и $z=-\frac{L}{2}$. Это последние две грани куба.

Таким образом, шесть заданных плоскостей образуют куб со стороной $L$. Искомый многогранник — это куб.

Зная, что $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем найти объем этого куба:

$V = L^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1}{(\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$V = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Объем многогранника равен $\frac{\sqrt{2}}{4}$ кубических единиц.