Номер 89, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

89. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

Дано:

Правильная треугольная призма.
Цилиндр 1 - описан около призмы.
Цилиндр 2 - вписан в призму.
$V_1$ - объем описанного цилиндра.
$V_2$ - объем вписанного цилиндра.

Найти:

$\frac{V_1}{V_2}$

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота.

Поскольку оба цилиндра, вписанный и описанный, относятся к одной и той же правильной призме, их высоты равны высоте призмы. Обозначим высоту как $h$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

1. Описанный цилиндр (Цилиндр 1).
Основание этого цилиндра - круг, описанный около равностороннего треугольника в основании призмы. Радиус этого круга (обозначим его $R$) является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Тогда объем описанного цилиндра равен:
$V_1 = \pi R^2 h = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{9} h = \frac{\pi a^2 h}{3}$

2. Вписанный цилиндр (Цилиндр 2).
Основание этого цилиндра - круг, вписанный в равносторонний треугольник в основании призмы. Радиус этого круга (обозначим его $r$) является радиусом вписанной окружности для равностороннего треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Тогда объем вписанного цилиндра равен:
$V_2 = \pi r^2 h = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} h = \frac{\pi a^2 h}{12}$

3. Отношение объемов.
Теперь найдем, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{3}}{\frac{\pi a^2 h}{12}}$
Сокращаем одинаковые множители $\pi a^2 h$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/3}{1/12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{1} = 4$
Можно решить задачу проще, заметив, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности ($R = 2r$).
Тогда отношение объемов:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{R^2}{r^2} = (\frac{R}{r})^2 = (\frac{2r}{r})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: объем цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, в 4 раза больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму.