Номер 83, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

83. В каждой грани куба с ребром 6 см проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 2 см. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Ребро куба, $a = 6 \text{ см}$
Сторона квадратного отверстия, $b = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем оставшейся части куба, $V_{ост} - ?$

Решение:

Для нахождения объема оставшейся части необходимо из первоначального объема куба вычесть объем удаленной части.

1. Найдем первоначальный объем куба ($V_{куба}$). Объем куба вычисляется по формуле:$V_{куба} = a^3$Подставим значение ребра куба:$V_{куба} = 6^3 = 216 \text{ см}^3$

2. Теперь найдем объем удаленной части ($V_{удал}$). В кубе сделано три сквозных отверстия, проходящих через центр перпендикулярно граням. Каждое отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед (квадратную призму) с основанием $b \times b$ и длиной, равной ребру куба $a$.

Так как отверстия пересекаются друг с другом, мы не можем просто сложить их объемы. Удобнее всего посчитать объем удаленной части, используя принцип включений-исключений или разбив удаленную фигуру на более простые части.

Способ 1: Принцип включений-исключений.

Объем объединения трех пересекающихся тел ($V_x, V_y, V_z$) вычисляется по формуле:$V_{удал} = V_x + V_y + V_z - (V_{x \cap y} + V_{x \cap z} + V_{y \cap z}) + V_{x \cap y \cap z}$

- Объем одного отверстия (призмы): $V_x = V_y = V_z = b^2 \cdot a = 2^2 \cdot 6 = 24 \text{ см}^3$.

- Область пересечения двух отверстий (например, $V_{x \cap y}$) — это куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{x \cap y} = b^3 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$. Таких пересечений три.

- Область пересечения всех трех отверстий ($V_{x \cap y \cap z}$) — это центральный куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{x \cap y \cap z} = b^3 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

Теперь подставим все значения в формулу:$V_{удал} = (3 \cdot 24) - (3 \cdot 8) + 8 = 72 - 24 + 8 = 56 \text{ см}^3$.

Способ 2: Метод декомпозиции.

Представим удаленную часть как состоящую из центрального куба и шести призм ("лучей"), отходящих от его граней.

- В центре куба вырезана область, где пересекаются все три отверстия. Эта область — куб со стороной $b=2 \text{ см}$. Его объем: $V_{центр} = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

- От каждой грани этого центрального куба к соответствующей грани большого куба идет "луч" - призма. Длина каждого такого луча равна $(a - b) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2 \text{ см}$. Сечение луча $2 \times 2 \text{ см}$. Таким образом, каждый из шести лучей также является кубом со стороной 2 см.

- Объем одного луча: $V_{луч} = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

- Суммарный объем шести лучей: $V_{лучи} = 6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^3$.

- Общий объем удаленной части: $V_{удал} = V_{центр} + V_{лучи} = 8 + 48 = 56 \text{ см}^3$.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба ($V_{ост}$), вычитая из начального объема объем удаленной части:$V_{ост} = V_{куба} - V_{удал}$$V_{ост} = 216 - 56 = 160 \text{ см}^3$

Ответ: $160 \text{ см}^3$.