Номер 79, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

79. Единичный тетраэдр ABCD повернут на $60^\circ$ вокруг высоты $DD_1$.
Найдите объем общей части исходного тетраэдра и повернутого.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$ — правильный (единичный).
Длина ребра $a = 1$.
Угол поворота $\alpha = 60^{\circ}$.
Ось вращения — высота $DD_1$.

Найти:

$V_{общ}$ — объём общей части исходного и повернутого тетраэдров.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом Кавальери. Объем тела можно найти как интеграл площадей его поперечных сечений.

Пусть исходный тетраэдр — $T$, а повернутый — $T'$. Мы ищем объем их пересечения $T \cap T'$. Ось вращения $DD_1$ является высотой тетраэдра, опущенной из вершины $D$ на основание $ABC$.

Рассмотрим поперечное сечение тетраэдра $T$ плоскостью, параллельной основанию $ABC$ и находящейся на расстоянии $z$ от него ($0 \le z \le h$, где $h$ — высота тетраэдра $DD_1$). Сечением является равносторонний треугольник, подобный основанию $ABC$. Обозначим его $S(z)$.

При повороте тетраэдра $T$ вокруг высоты $DD_1$ на $60^{\circ}$, его сечение $S(z)$ также повернется на $60^{\circ}$ вокруг своего центра, превратившись в треугольник $S'(z)$. Общая часть тетраэдров $T$ и $T'$ на этом уровне будет представлять собой пересечение треугольников $S(z)$ и $S'(z)$.

Пересечение равностороннего треугольника со своей копией, повернутой на $60^{\circ}$ вокруг центра, является правильным шестиугольником. Найдем соотношение площадей этого шестиугольника и исходного треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника $S(z)$ равна $s$. Если разделить каждую сторону этого треугольника на три равные части, то средний отрезок будет являться стороной вписанного правильного шестиугольника, который образуется при пересечении. Таким образом, сторона шестиугольника $s_h$ равна $s/3$.

Площадь исходного треугольника $S(z)$ равна $A_{\triangle} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь шестиугольника, являющегося пересечением, состоит из 6 маленьких равносторонних треугольников со стороной $s_h = s/3$. Его площадь $A_{\hexagon}$ равна: $A_{\hexagon} = 6 \cdot \frac{s_h^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{(s/3)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{s^2/9 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{6}{9} \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2}{3} A_{\triangle}$.

Таким образом, площадь поперечного сечения общей части тетраэдров $A_{общ}(z)$ составляет $2/3$ от площади поперечного сечения исходного тетраэдра $A_{исх}(z)$ на той же высоте: $A_{общ}(z) = \frac{2}{3} A_{исх}(z)$.

Согласно принципу Кавальери, если площади сечений двух тел на любой высоте относятся как $k$, то и их объемы относятся так же. Следовательно, объем общей части $V_{общ}$ составляет $2/3$ от объема исходного тетраэдра $V_{исх}$: $V_{общ} = \frac{2}{3} V_{исх}$.

Теперь найдем объем исходного единичного тетраэдра $V_{исх}$. Высота $h$ правильного тетраэдра со стороной $a=1$ находится из прямоугольного треугольника, образованного ребром $a$, высотой $h$ и радиусом $R$ описанной окружности основания. $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a=1$): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Объем исходного тетраэдра: $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{12} \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Наконец, находим объем общей части: $V_{общ} = \frac{2}{3} V_{исх} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{18}$.

Ответ: $V_{общ} = \frac{\sqrt{2}}{18}$.