Номер 72, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

72. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра $h_{цил} = \sqrt{3}$ см.

Найти:

Объем призмы $V_{пр}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн} \times H_{пр}$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H_{пр}$ — ее высота.

Поскольку правильная шестиугольная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $H_{пр}$ равна высоте цилиндра $h_{цил}$.
$H_{пр} = h_{цил} = \sqrt{3}$ см.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Окружность основания цилиндра вписана в этот шестиугольник. Радиус вписанной окружности в правильном шестиугольнике равен его апофеме $a$. Таким образом, апофема шестиугольника равна радиусу основания цилиндра.
$a = r = \sqrt{3}$ см.

Сторона правильного шестиугольника $s$ связана с его апофемой $a$ соотношением: $a = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.
Найдем сторону шестиугольника $s$, подставив значение апофемы:
$\sqrt{3} = \frac{s\sqrt{3}}{2}$
Делим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$1 = \frac{s}{2}$
Отсюда $s = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.
Подставим найденное значение стороны $s=2$ см:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4 = 3\sqrt{3} \times 2 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, можем вычислить ее объем:
$V_{пр} = S_{осн} \times H_{пр} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \times \sqrt{3} \text{ см} = 6 \times (\sqrt{3})^2 \text{ см}^3 = 6 \times 3 \text{ см}^3 = 18$ см$^3$.

Ответ: $18$ см$^3$.