Номер 66, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

66. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное 2 см. Площади этих граней равны $4 \text{ см}^2$ и $6 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Дано:
Призма - треугольная.
Две боковые грани перпендикулярны.
Общее ребро двух перпендикулярных граней, $l = 2$ см.
Площадь первой грани, $S_1 = 4$ см².
Площадь второй грани, $S_2 = 6$ см².

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$S_1 = 4 \text{ см}^2 = 0.0004 \text{ м}^2$
$S_2 = 6 \text{ см}^2 = 0.0006 \text{ м}^2$

Найти:
Объем призмы $V$.

Решение:
Объем любой призмы, как прямой, так и наклонной, можно вычислить по формуле:$V = S_{\perp} \cdot l$где $S_{\perp}$ — это площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

Пусть нам дана призма $ABCA'B'C'$. По условию, две ее боковые грани, например $ABB'A'$ и $ACC'A'$, перпендикулярны. Их общее ребро — $AA'$, и его длина $l = |AA'| = 2$ см. Площади этих граней равны $S_{ABB'A'} = S_1 = 4$ см² и $S_{ACC'A'} = S_2 = 6$ см².

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы, пусть это будет треугольник $PQR$. Так как плоскость сечения $PQR$ перпендикулярна боковым ребрам (в частности, ребру $AA'$), то стороны сечения, выходящие из вершины на этом ребре (например, $PQ$ и $PR$), будут перпендикулярны этому ребру.

Угол между перпендикулярными гранями $ABB'A'$ и $ACC'A'$ равен $90°$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, образованным лучами, проведенными в плоскостях граней перпендикулярно их общему ребру $AA'$. Такими лучами являются стороны нашего перпендикулярного сечения, например $PQ$ и $PR$. Следовательно, угол между ними $\angle QPR = 90°$. Это означает, что перпендикулярное сечение призмы является прямоугольным треугольником.

Площадь боковой грани призмы равна произведению длины бокового ребра на длину соответствующей стороны перпендикулярного сечения. Обозначим катеты нашего прямоугольного сечения как $a$ и $b$. Тогда:

$S_1 = l \cdot a$

$S_2 = l \cdot b$

Выразим длины катетов $a$ и $b$ из этих формул:

$a = \frac{S_1}{l} = \frac{4 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 2$ см.

$b = \frac{S_2}{l} = \frac{6 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 3$ см.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$, которая является площадью прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3$ см².

Наконец, вычислим объем призмы по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$:

$V = 3 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 6$ см³.

Ответ: $V = 6$ см³.