Номер 69, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

69. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.
Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.
Высота цилиндра, $h = \sqrt{3}$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.
$h = \sqrt{3} \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Объем призмы, $V_{призмы}$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

Так как призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте цилиндра $h$: $H = h = \sqrt{3}$ см.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Поскольку цилиндр вписан в призму, его основание (окружность) вписано в основание призмы (равносторонний треугольник).

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$: $a = r \cdot 2\sqrt{3}$.

Подставим известное значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см, чтобы найти длину стороны основания призмы: $a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь основания призмы $S_{осн}$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны $a = 6$ см: $S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Наконец, вычислим объем призмы, зная площадь основания и высоту: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$ см³.

Ответ: $27$ см³.