Номер 68, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

68. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Дано:

Исходная призма - правильная шестиугольная.

Объем исходной призмы $V_1 = 12 \text{ см}^3$.

Вершины оснований новой призмы являются серединами сторон оснований данной призмы.

Найти:

Объем новой призмы $V_2$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_1$ и $S_1$ — объем и площадь основания исходной призмы, а $V_2$ и $S_2$ — объем и площадь основания новой призмы. Так как новая призма построена на основании исходной, их высоты равны ($h_1 = h_2 = h$).

Тогда:

$V_1 = S_1 \cdot h$

$V_2 = S_2 \cdot h$

Отношение объемов двух призм равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Отсюда $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Найдем отношение площадей оснований. Основание исходной призмы — правильный шестиугольник. Обозначим длину его стороны через $a$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Основание новой призмы — это шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного шестиугольника. Этот новый шестиугольник также является правильным. Найдем длину его стороны, которую обозначим $b$.

Рассмотрим вершину исходного шестиугольника и середины двух смежных сторон, выходящих из этой вершины. Они образуют равнобедренный треугольник. Две его стороны равны половине стороны исходного шестиугольника ($a/2$), а угол между ними равен внутреннему углу правильного шестиугольника, то есть $120^\circ$. Сторона $b$ нового шестиугольника является основанием этого треугольника.

По теореме косинусов найдем $b^2$:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Площадь нового правильного шестиугольника со стороной $b$ равна:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$

Подставим найденное выражение для $b^2$:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$

Теперь найдем отношение площадей $S_2$ и $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{9\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Площадь основания новой призмы составляет $\frac{3}{4}$ от площади основания исходной призмы. Следовательно, и объем новой призмы составляет $\frac{3}{4}$ от объема исходной.

Вычислим объем новой призмы:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$

Ответ: $9 \text{ см}^3$.