Номер 65, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

65. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна $12 \text{ см}^2$, а расстояние от нее до противолежащего ребра равно $3 \text{ см}$. Найдите объем призмы.

Дано:

Наклонная треугольная призма

Площадь боковой грани: $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$

Расстояние от этой грани до противолежащего ребра: $d = 3 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$S_{бок} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0012 \text{ м}^2$
$d = 3 \text{ см} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы: $V$

Решение:

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, можно найти по формуле, использующей площадь перпендикулярного сечения:

$V = S_{перп} \cdot l$

где $S_{перп}$ — это площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина ее бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник (в нашем случае треугольник), который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

Площадь боковой грани призмы (которая является параллелограммом) равна произведению длины бокового ребра $l$ на соответствующую сторону перпендикулярного сечения $a_{перп}$.

$S_{бок} = l \cdot a_{перп}$

Из условия задачи нам известно, что $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$. Значит, мы можем записать:

$l \cdot a_{перп} = 12$

Расстояние от боковой грани до противолежащего ей параллельного бокового ребра представляет собой высоту перпендикулярного сечения, проведенную к стороне $a_{перп}$. Обозначим эту высоту как $h_{перп}$. По условию, $d = h_{перп} = 3 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения, которое является треугольником, по формуле площади треугольника:

$S_{перп} = \frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot h_{перп}$

Подставляем известное значение высоты $h_{перп} = 3 \text{ см}$:

$S_{перп} = \frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot 3$

Теперь вернемся к формуле для вычисления объема призмы и подставим в нее выражение для $S_{перп}$:

$V = S_{перп} \cdot l = (\frac{1}{2} \cdot a_{перп} \cdot 3) \cdot l$

Перегруппируем множители в этом выражении:

$V = \frac{3}{2} \cdot (l \cdot a_{перп})$

Как мы установили ранее, произведение $l \cdot a_{перп}$ равно площади боковой грани, то есть 12. Подставляем это значение в формулу для объема:

$V = \frac{3}{2} \cdot 12 = 3 \cdot 6 = 18$

Поскольку исходные данные были в сантиметрах, объем будет в кубических сантиметрах.

Ответ: объем призмы равен $18 \text{ см}^3$.