Номер 58, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Конус, вписанный в пирамиду ($К_{впис}$).

Конус, описанный около пирамиды ($К_{опис}$).

Найти:

Во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного, то есть найти отношение $\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания конуса, а $H$ - его высота.

Поскольку конусы вписаны и описаны около одной и той же правильной пирамиды, их вершины совпадают с вершиной пирамиды, а их высоты равны высоте пирамиды. Обозначим эту высоту как $H$.

$H_{впис} = H_{опис} = H_{пирамиды} = H$.

Основание правильной четырехугольной пирамиды - это квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$.

1. Рассмотрим вписанный конус ($К_{впис}$).

Основание вписанного конуса - это круг, вписанный в квадратное основание пирамиды. Радиус такого круга ($r_{впис}$) равен половине стороны квадрата.

$r_{впис} = \frac{a}{2}$

Объем вписанного конуса равен:

$V_{впис} = \frac{1}{3} \pi r_{впис}^2 H = \frac{1}{3} \pi (\frac{a}{2})^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} H = \frac{\pi a^2 H}{12}$

2. Рассмотрим описанный конус ($К_{опис}$).

Основание описанного конуса - это круг, описанный около квадратного основания пирамиды. Радиус такого круга ($R_{опис}$) равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$.

$R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Объем описанного конуса равен:

$V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R_{опис}^2 H = \frac{1}{3} \pi (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} H = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{2} H = \frac{\pi a^2 H}{6}$

3. Найдем отношение объемов.

Чтобы узнать, во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного, разделим $V_{опис}$ на $V_{впис}$.

$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 H}{6}}{\frac{\pi a^2 H}{12}} = \frac{\pi a^2 H}{6} \cdot \frac{12}{\pi a^2 H} = \frac{12}{6} = 2$

Таким образом, объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного конуса.

Ответ: в 2 раза.