Номер 57, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 6 см. Найдите его объем, деленный на $ \pi $.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания пирамиды, $a = 4$ см
Высота пирамиды, $h_{пир} = 6$ см
Конус описан около пирамиды.

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$h_{пир} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Значение выражения $\frac{V_{кон}}{π}$, где $V_{кон}$ - объем конуса.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Так как конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, то их вершины и высоты совпадают. Следовательно, высота конуса $h$ равна высоте пирамиды: $h = h_{пир} = 6$ см.

Основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (круг). Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности основания конуса. Радиус $R$ этой окружности равен половине диагонали $d$ квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ можно найти по формуле $d = a\sqrt{2}$. Подставим значение стороны основания $a = 4$ см: $d = 4\sqrt{2}$ см.

Радиус основания конуса равен: $R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 6$

Выполним вычисления: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 6 = \pi \cdot 8 \cdot \frac{6}{3} = \pi \cdot 8 \cdot 2 = 16\pi$ см$^3$.

Найдем искомое значение, разделив объем на $\pi$: $\frac{V_{кон}}{π} = \frac{16\pi}{π} = 16$.

Ответ: 16.