Номер 53, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

53. Объем конуса равен $12 \text{ см}^3$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Дано:

Объем исходного конуса $V_1 = 12 \text{ см}^3$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, делит высоту конуса пополам.

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 12 \text{ см}^3 = 12 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \times 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченного конуса $V_2$.

Решение:

Пусть $V_1$, $R_1$ и $H_1$ — объем, радиус основания и высота исходного конуса соответственно. Формула объема конуса:

$V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1 = 12 \text{ см}^3$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим его параметры как $V_2$, $R_2$ и $H_2$.

По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходного конуса пополам. Это означает, что высота отсеченного (меньшего) конуса составляет половину высоты исходного конуса:

$H_2 = \frac{1}{2} H_1$

Так как отсеченный конус подобен исходному, их коэффициент подобия $k$ равен отношению их линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{H_2}{H_1} = \frac{\frac{1}{2} H_1}{H_1} = \frac{1}{2}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Подставив значение коэффициента подобия, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Теперь можем выразить и вычислить объем отсеченного конуса $V_2$:

$V_2 = V_1 \times \frac{1}{8} = 12 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$

Таким образом, объем меньшего конуса, отсеченного от вершины, равен 1,5 см³.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.