Номер 47, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

47. От призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, объем которой равен $6 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида $C_1 ABC$. Найдите объем оставшейся части.

Дано:

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем оставшейся части призмы, $V_{\text{ост. части}}$.

Решение:

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ вычисляется по формуле:

$V_{\text{призмы}} = S_{ABC} \cdot h$

где $S_{ABC}$ — площадь основания (треугольника $ABC$), а $h$ — высота призмы (расстояние между основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$).

Из условия задачи известно, что $V_{\text{призмы}} = 6 \text{ см}^3$.

От призмы отсечена треугольная пирамида $C_1ABC$.

Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$, который совпадает с основанием призмы. Вершиной пирамиды является точка $C_1$.

Высота пирамиды $C_1ABC$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $h$ самой призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

Для нашей пирамиды $C_1ABC$ объем будет равен:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Мы видим, что объем этой пирамиды связан с объемом призмы следующим образом:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} (S_{ABC} \cdot h) = \frac{1}{3} V_{\text{призмы}}$

Подставим известное значение объема призмы:

$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$

Объем оставшейся части призмы равен разности объемов исходной призмы и отсеченной пирамиды:

$V_{\text{ост. части}} = V_{\text{призмы}} - V_{C_1ABC}$

$V_{\text{ост. части}} = 6 \text{ см}^3 - 2 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$

Ответ: $4 \text{ см}^3$.