Номер 42, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Объем правильной шестиугольной пирамиды равны 6 $\text{см}^3$. Сторона основания равна 1 $\text{см}$. Найдите боковое ребро.

Дано:

Объем правильной шестиугольной пирамиды $V = 6 \text{ см}^3$.

Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

В данной задаче все единицы измерения согласованы (сантиметры), поэтому перевод в систему СИ не является обязательным для решения. Проведем вычисления в сантиметрах. Для справки приведем значения в СИ:

$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$a = 1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Боковое ребро пирамиды $l$.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

2. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников, на которые он делится большими диагоналями. Площадь одного такого треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны основания $a = 1 \text{ см}$:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

3. Теперь, зная объем и площадь основания, найдем высоту пирамиды $H$ из формулы объема:

$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

$H = \frac{3 \cdot 6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

4. Боковое ребро $l$, высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a$.

$R = a = 1 \text{ см}$.

5. Применим теорему Пифагора для нахождения бокового ребра $l$:

$l^2 = H^2 + R^2$

$l^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 16 \cdot 3 + 1 = 48 + 1 = 49$

Отсюда находим длину бокового ребра:

$l = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$.

Ответ: боковое ребро равно 7 см.