Номер 48, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Дано:

$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$
$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида
$SABC$ - треугольная пирамида, являющаяся частью пирамиды $SABCDEF$

Найти:

$V_{SABCDEF}$ - ?

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ и треугольная пирамида $SABC$ имеют общую вершину $S$, а их основания $ABCDEF$ и $ABC$ лежат в одной плоскости. Следовательно, высота $h$ у обеих пирамид одинакова.

Это означает, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований: $$ \frac{V_{SABCDEF}}{V_{SABC}} = \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} $$

Рассмотрим основания пирамид. Основание большой пирамиды – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть его сторона равна $a$. Основание малой пирамиды – треугольник $ABC$.

Площадь правильного шестиугольника $S_{ABCDEF}$ можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проведенными из его центра $O$. Площадь одного такого треугольника (например, $\triangle OAB$) со стороной $a$ равна: $$ S_{\triangle OAB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$ Тогда площадь всего шестиугольника: $$ S_{ABCDEF} = 6 \cdot S_{\triangle OAB} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} $$

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$. Стороны $AB$ и $BC$ равны стороне шестиугольника $a$. Угол между ними, $\angle ABC$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) $$ Подставим значения: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Теперь найдем отношение площадей оснований: $$ \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}} = \frac{12}{2} = 6 $$

Поскольку отношение объемов равно отношению площадей оснований, получаем: $$ \frac{V_{SABCDEF}}{V_{SABC}} = 6 $$

Отсюда выразим искомый объем $V_{SABCDEF}$: $$ V_{SABCDEF} = 6 \cdot V_{SABC} $$ Подставим известное значение $V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$: $$ V_{SABCDEF} = 6 \cdot 1 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3 $$

Ответ: $6 \text{ см}^3$.