Номер 51, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

51. Объем треугольной пирамиды $SABC$ равен $15\text{ см}^3$. Плоскость проходит через сторону $AB$ основания этой пирамиды и пересекает противолежащее боковое ребро в точке $D$, делящей ребро $SC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $S$. Найдите объем пирамиды $DABC$.

Дано:

Объем треугольной пирамиды $SABC$: $V_{SABC} = 15 \text{ см}^3$

Плоскость, проходящая через сторону $AB$, пересекает ребро $SC$ в точке $D$.

Точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $SD:DC = 1:2$.

$V_{SABC} = 15 \text{ см}^3 = 15 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 15 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Объем пирамиды $DABC$: $V_{DABC}$

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пирамиды $SABC$ и $DABC$ имеют общее основание — треугольник $ABC$. Их объемы различаются только из-за разной высоты.

Объем пирамиды $SABC$ равен $V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S$, где $h_S$ — высота, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$.

Объем искомой пирамиды $DABC$ равен $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, где $h_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$.

Найдем отношение объемов этих двух пирамид:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S} = \frac{h_D}{h_S}$

Чтобы найти отношение высот $h_D / h_S$, опустим из точек $S$ и $D$ перпендикуляры $SH_S$ и $DH_D$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $h_S = SH_S$ и $h_D = DH_D$.

Так как $SH_S \perp (ABC)$ и $DH_D \perp (ABC)$, то $SH_S \parallel DH_D$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CSH_S$ и $\triangle CDH_D$. Они подобны по двум углам, так как:

1. $\angle SH_S C = \angle DH_D C = 90^\circ$ (по построению).

2. Угол при вершине $C$ является общим для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{DH_D}{SH_S} = \frac{CD}{CS}$

По условию задачи, точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $SD:DC = 1:2$. Примем длину отрезка $SD$ за $x$, тогда длина отрезка $DC$ будет $2x$. Вся длина ребра $CS$ составит $CS = SD + DC = x + 2x = 3x$.

Тогда отношение длин отрезков равно:

$\frac{CD}{CS} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Следовательно, отношение высот также равно $\frac{h_D}{h_S} = \frac{2}{3}$.

Теперь мы можем найти отношение объемов:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{h_D}{h_S} = \frac{2}{3}$

Выразим искомый объем $V_{DABC}$:

$V_{DABC} = \frac{2}{3} \cdot V_{SABC} = \frac{2}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 10 \text{ см}^3$.

Ответ: $10 \text{ см}^3$.