Номер 50, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

50. От треугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Дано:

$V_{исх} = 12 \text{ см}^3$ (объем исходной треугольной пирамиды).
Отсекающая плоскость проходит через вершину пирамиды и среднюю линию ее основания.

Перевод в СИ:
$V_{исх} = 12 \text{ см}^3 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_{отс}$ — объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение:

Объем любой пирамиды можно найти по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{исх}$ — объем исходной пирамиды, $S_{исх}$ — площадь ее основания, а $h$ — ее высота. $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{исх} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Рассмотрим отсеченную пирамиду. Ее вершина совпадает с вершиной исходной пирамиды, а ее основание лежит в той же плоскости, что и основание исходной пирамиды. Следовательно, высота отсеченной пирамиды равна высоте исходной пирамиды, то есть $h$.

Основанием отсеченной пирамиды является треугольник, который отсекается от треугольника-основания исходной пирамиды его средней линией. Обозначим площадь основания отсеченной пирамиды как $S_{отс}$.

Треугольник, отсекаемый средней линией, подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Поскольку средняя линия соединяет середины двух сторон, стороны малого треугольника в 2 раза меньше сторон большого. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда, $S_{отс} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь можем найти объем отсеченной пирамиды $V_{отс}$: $V_{отс} = \frac{1}{3} S_{отс} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{исх} \cdot h)$.

Заметив, что выражение в скобках равно объему исходной пирамиды $V_{исх}$, получаем: $V_{отс} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим данное значение $V_{исх}$: $V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.