Номер 44, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

44. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12 см$^3$. Найдите объем треугольной пирамиды $B_1ABC$.

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Объем параллелепипеда $V_{пар} = 12 \text{ см}^3$

Найти:

Объем треугольной пирамиды $B_1ABC$ ($V_{пир}$)

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:$V_{пар} = S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.В нашем случае, в качестве основания возьмем параллелограмм $ABCD$. Тогда формула примет вид:$V_{пар} = S_{ABCD} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{пир\_осн} \cdot h_{пир}$,где $S_{пир\_осн}$ — площадь основания пирамиды, а $h_{пир}$ — ее высота.

Рассмотрим заданную треугольную пирамиду $B_1ABC$.Ее основанием является треугольник $ABC$, а вершиной — точка $B_1$.

Высота этой пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $h$ всего параллелепипеда. Таким образом, $h_{пир} = h$.

Основание пирамиды — треугольник $ABC$. Этот треугольник является половиной основания параллелепипеда — параллелограмма $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных по площади треугольника.Следовательно, площадь основания пирамиды связана с площадью основания параллелепипеда соотношением:$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь подставим выражения для площади основания и высоты пирамиды в формулу для ее объема:$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h$.

Сгруппируем множители:$V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot (S_{ABCD} \cdot h)$.

Так как выражение в скобках $S_{ABCD} \cdot h$ есть не что иное, как объем параллелепипеда $V_{пар}$, мы можем записать:$V_{пир} = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Подставим известное значение объема параллелепипеда в полученную формулу:$V_{пир} = \frac{1}{6} \cdot 12 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: $2 \text{ см}^3$.