Номер 39, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида `SABCD`, в основании которой лежит прямоугольник `ABCD`.

Одна боковая грань, пусть это будет `(SAD)`, перпендикулярна плоскости основания `(ABCD)`.

Три другие боковые грани, `(SAB)`, `(SBC)` и `(SCD)`, наклонены к плоскости основания под углом `α = 60°`.

Высота пирамиды `H = 6` см.

Перевод в систему СИ:

`H = 6` см `$ = 0.06$` м.

Найти:

Объем пирамиды `V`.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

Поскольку боковая грань `(SAD)` перпендикулярна плоскости основания `(ABCD)`, высота пирамиды `SH` будет лежать в этой грани и будет перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей, то есть стороне `AD`. Таким образом, точка `H` лежит на стороне `AD` основания, и `SH` является высотой пирамиды, `SH = H = 6` см.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Он определяется как угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней в одной точке.

Рассмотрим углы наклона для трех граней:

1. Грань `SCD`. Линия пересечения с основанием — `CD`. В прямоугольнике `ABCD` сторона `AD ⊥ CD`. Так как `SH ⊥ (ABCD)`, то `HD` — проекция наклонной `SD` на плоскость основания. Поскольку проекция `HD` (как часть прямой `AD`) перпендикулярна `CD`, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная `SD` перпендикулярна `CD`. Следовательно, `∠SDA` является линейным углом двугранного угла между гранью `SCD` и основанием. По условию, `∠SDA = 60°`.

2. Грань `SAB`. Линия пересечения — `AB`. Аналогично, `AD ⊥ AB`. Проекция наклонной `SA` на плоскость основания — это `HA`. Так как `HA ⊥ AB`, то по теореме о трех перпендикулярах `SA ⊥ AB`. Следовательно, линейным углом является `∠SAH`. По условию, `∠SAH = 60°`.

3. Грань `SBC`. Линия пересечения — `BC`. Проведем из точки `H` на стороне `AD` перпендикуляр `HM` к стороне `BC`. Поскольку `ABCD` — прямоугольник, `HM` будет параллельна `AB` и `CD`, а ее длина будет равна длине стороны `AB` (`HM = AB`). `HM` является проекцией наклонной `SM` на плоскость основания. Так как `HM ⊥ BC`, то по теореме о трех перпендикулярах `SM ⊥ BC`. Линейным углом является `∠SMH`. По условию, `∠SMH = 60°`.

Теперь найдем размеры сторон основания, используя прямоугольные треугольники, образованные высотой `SH`.

Из прямоугольного треугольника `ΔSHD` (`∠SHD = 90°`):
$HD = \frac{SH}{\tan(∠SDA)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника `ΔSAH` (`∠SHA = 90°`):
$AH = \frac{SH}{\tan(∠SAH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина стороны `AD` основания равна сумме длин отрезков `AH` и `HD` (поскольку `H` лежит между `A` и `D`):
$AD = AH + HD = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника `ΔSMH` (`∠SHM = 90°`):
$HM = \frac{SH}{\tan(∠SMH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Так как `HM = AB`, то сторона `AB = 2\sqrt{3}` см.

Теперь можем найти площадь основания пирамиды (прямоугольника `ABCD`):
$S_{осн} = AD \cdot AB = (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$ см².

Наконец, вычисляем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см³.

Ответ: 48 см³.