Номер 39, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$.

Одна боковая грань, пусть это будет $(SAD)$, перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$.

Три другие боковые грани, $(SAB)$, $(SBC)$ и $(SCD)$, наклонены к плоскости основания под углом $α = 60°$.

Высота пирамиды $H = 6$ см.

Перевод в систему СИ:

$H = 6$ см $ = 0.06$ м.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

Поскольку боковая грань $(SAD)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, высота пирамиды $SH$ будет лежать в этой грани и будет перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей, то есть стороне $AD$. Таким образом, точка $H$ лежит на стороне $AD$ основания, и $SH$ является высотой пирамиды, $SH = H = 6$ см.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Он определяется как угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней в одной точке.

Рассмотрим углы наклона для трех граней:

1. Грань $SCD$. Линия пересечения с основанием — $CD$. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD ⊥ CD$. Так как $SH ⊥ (ABCD)$, то $HD$ — проекция наклонной $SD$ на плоскость основания. Поскольку проекция $HD$ (как часть прямой $AD$) перпендикулярна $CD$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $SD$ перпендикулярна $CD$. Следовательно, $∠SDA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SCD$ и основанием. По условию, $∠SDA = 60°$.

2. Грань $SAB$. Линия пересечения — $AB$. Аналогично, $AD ⊥ AB$. Проекция наклонной $SA$ на плоскость основания — это $HA$. Так как $HA ⊥ AB$, то по теореме о трех перпендикулярах $SA ⊥ AB$. Следовательно, линейным углом является $∠SAH$. По условию, $∠SAH = 60°$.

3. Грань $SBC$. Линия пересечения — $BC$. Проведем из точки $H$ на стороне $AD$ перпендикуляр $HM$ к стороне $BC$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $HM$ будет параллельна $AB$ и $CD$, а ее длина будет равна длине стороны $AB$ ($HM = AB$). $HM$ является проекцией наклонной $SM$ на плоскость основания. Так как $HM ⊥ BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SM ⊥ BC$. Линейным углом является $∠SMH$. По условию, $∠SMH = 60°$.

Теперь найдем размеры сторон основания, используя прямоугольные треугольники, образованные высотой $SH$.

Из прямоугольного треугольника $ΔSHD$ ($∠SHD = 90°$):
$HD = \frac{SH}{\tan(∠SDA)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $ΔSAH$ ($∠SHA = 90°$):
$AH = \frac{SH}{\tan(∠SAH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина стороны $AD$ основания равна сумме длин отрезков $AH$ и $HD$ (поскольку $H$ лежит между $A$ и $D$):
$AD = AH + HD = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $ΔSMH$ ($∠SHM = 90°$):
$HM = \frac{SH}{\tan(∠SMH)} = \frac{6}{\tan(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Так как $HM = AB$, то сторона $AB = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь основания пирамиды (прямоугольника $ABCD$):
$S_{осн} = AD \cdot AB = (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$ см².

Наконец, вычисляем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см³.

Ответ: 48 см³.