Номер 35, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен $5 \text{ см}^3$. Найдите объем исходной призмы.

Дано

Исходная фигура – треугольная призма.

Секущая плоскость проведена через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.

Объем отсеченной треугольной призмы $V_{отс} = 5 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем исходной призмы $V_{исх}$.

Решение

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

Пусть $V_{исх}$ – объем исходной призмы, $S_{исх}$ – площадь ее основания, $H$ – ее высота. Тогда $V_{исх} = S_{исх} \cdot H$.

Секущая плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму. Обозначим ее объем как $V_{отс}$, а площадь ее основания как $S_{отс}$.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру исходной призмы, высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы, то есть $H$.

Следовательно, объем отсеченной призмы равен $V_{отс} = S_{отс} \cdot H$.

Найдем соотношение объемов исходной и отсеченной призм:

$\frac{V_{исх}}{V_{отс}} = \frac{S_{исх} \cdot H}{S_{отс} \cdot H} = \frac{S_{исх}}{S_{отс}}$

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается от треугольника-основания исходной призмы его средней линией.

Пусть основание исходной призмы – это треугольник $\triangle ABC$. Средняя линия, например $MN$, соединяет середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$). Треугольник $\triangle MBN$, который является основанием отсеченной призмы, подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению длин соответствующих сторон. Так как $MN$ – средняя линия, то $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что $S_{исх} = 4 \cdot S_{отс}$.

Теперь подставим это соотношение в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_{исх}}{V_{отс}} = \frac{4 \cdot S_{отс}}{S_{отс}} = 4$

Таким образом, объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы:

$V_{исх} = 4 \cdot V_{отс}$

Подставляем известное значение $V_{отс} = 5 \text{ см}^3$:

$V_{исх} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}^3$

Ответ: 20 см³.