Номер 28, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его объем увеличится на 19 $cm^3$. Найдите ребро куба.

Дано:

Увеличение ребра куба, $ \Delta l = 1 \text{ см} $
Увеличение объема куба, $ \Delta V = 19 \text{ см}^3 $

Перевод в систему СИ:
$ \Delta l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} $
$ \Delta V = 19 \text{ см}^3 = 19 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 19 \times 10^{-6} \text{ м}^3 $

Найти:

Начальное ребро куба, $ a $.

Решение:

Обозначим длину ребра исходного куба через $a$. Тогда его объем $V_1$ вычисляется по формуле:
$ V_1 = a^3 $
После увеличения каждого ребра на 1 см, новое ребро будет равно $a + 1$ см.
Объем нового куба $V_2$ будет равен:
$ V_2 = (a + 1)^3 $
По условию задачи, разница между новым и старым объемом составляет 19 см³.
$ V_2 - V_1 = \Delta V $
Составим уравнение, подставив известные значения (для удобства вычислений будем использовать сантиметры):
$ (a + 1)^3 - a^3 = 19 $
Для решения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
$ (a^3 + 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 + 1^3) - a^3 = 19 $
$ a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 19 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 3a^2 + 3a + 1 = 19 $
Перенесем 19 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$ 3a^2 + 3a + 1 - 19 = 0 $
$ 3a^2 + 3a - 18 = 0 $
Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:
$ a^2 + a - 6 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ :
$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
$ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $
Поскольку длина ребра куба является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $a_2 = -3$ не является решением задачи.
Таким образом, искомая длина ребра куба равна 2 см.

Проверка:
Начальный объем куба: $V_1 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.
Новое ребро: $2 + 1 = 3 \text{ см}$.
Новый объем: $V_2 = 3^3 = 27 \text{ см}^3$.
Увеличение объема: $\Delta V = V_2 - V_1 = 27 - 8 = 19 \text{ см}^3$.
Результат проверки совпадает с условием задачи.

Ответ: $2 \text{ см}$.