Страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150 $см^3$.

Дано:

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту.

$V_{цилиндра} = 150 \text{ см}^3$

Перевод в систему СИ:

$V_{цилиндра} = 150 \text{ см}^3 = 150 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 150 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1.5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{конуса}$

Решение:

Объем цилиндра определяется формулой:

$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Объем конуса определяется формулой:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Из условия задачи известно, что у цилиндра и конуса общее основание и общая высота. Следовательно, их площади оснований $S_{осн}$ и высоты $h$ одинаковы.

Сравнивая формулы объемов, можно увидеть, что объем конуса составляет одну треть от объема цилиндра с такими же параметрами:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot (S_{осн} \cdot h) = \frac{1}{3} V_{цилиндра}$

Подставим заданное значение объема цилиндра в эту формулу, чтобы найти объем конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot 150 \text{ см}^3 = 50 \text{ см}^3$

Ответ: объем конуса равен $50 \text{ см}^3$.

23. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Дано:

Пусть $R_1$ — первоначальный радиус шара.
Пусть $V_1$ — первоначальный объем шара.
Новый радиус шара $R_2$ в три раза больше первоначального: $R_2 = 3R_1$.
Пусть $V_2$ — новый объем шара.

Найти:

Во сколько раз увеличится объем шара, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Первоначальный объем шара $V_1$ с радиусом $R_1$ равен: $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Новый радиус шара $R_2 = 3R_1$. Подставим его в формулу для вычисления нового объема $V_2$: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (3R_1)^3$

Упростим полученное выражение: $V_2 = \frac{4}{3}\pi (3^3 \cdot R_1^3) = \frac{4}{3}\pi (27 R_1^3)$

Вынесем числовой коэффициент 27 за скобки: $V_2 = 27 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$

Выражение в скобках является первоначальным объемом $V_1$. Таким образом, мы можем записать: $V_2 = 27 \cdot V_1$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, разделим новый объем на первоначальный: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{27 V_1}{V_1} = 27$

Таким образом, при увеличении радиуса шара в 3 раза его объем увеличивается в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.

24. Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ см. Найдите его объем.

Дано:

Диагональ куба $d = \sqrt{12}$ см.

Перевод в систему СИ: $d = \sqrt{12} \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра куба. Формула, связывающая диагональ куба $d$ и его ребро $a$, имеет вид:

$d = a\sqrt{3}$

Данная формула является следствием двукратного применения теоремы Пифагора. Сначала для диагонали грани куба ($d_{грани} = a\sqrt{2}$), а затем для прямоугольного треугольника, образованного диагональю куба, ребром куба и диагональю грани ($d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 3a^2$).

Согласно условию задачи, $d = \sqrt{12}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$:

$a\sqrt{3} = \sqrt{12}$

Выразим $a$, разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, длина ребра куба составляет 2 см.

Объем куба $V$ вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение $a = 2$ см в формулу для вычисления объема:

$V = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: $8 \text{ см}^3$.

24. Длина куба равна $12$ см. Найдите его объем.

25. Объем куба равен $24\sqrt{3}$ см$^3$. Найдите его диагональ.

Дано:

Объем куба $V = 24\sqrt{3}$ см³

$V = 24\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 24\sqrt{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Диагональ куба $d$

Решение:

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

Зная объем, мы можем найти длину ребра $a$.

$a^3 = V$

$a^3 = 24\sqrt{3}$ см³

Чтобы найти $a$, нужно извлечь кубический корень. Для удобства преобразуем выражение $24\sqrt{3}$:

$24\sqrt{3} = 8 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 3^{1/2} = 2^3 \cdot 3^{1 + 1/2} = 2^3 \cdot 3^{3/2}$

Теперь извлечем кубический корень:

$a = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^{3/2}} = (2^3 \cdot 3^{3/2})^{1/3} = (2^3)^{1/3} \cdot (3^{3/2})^{1/3} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 \cdot 3^{1/2} = 2\sqrt{3}$

Таким образом, длина ребра куба составляет $a = 2\sqrt{3}$ см.

Диагональ куба $d$ связана с длиной его ребра $a$ соотношением $d = a\sqrt{3}$.

Подставим найденное значение $a$ в эту формулу:

$d = (2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

26. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см, 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед
Ребро $a = 2$ см
Ребро $b = 4$ см
Диагональ $d = 6$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$.

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. По условию, два ребра, выходящие из одной вершины, равны 2 см и 4 см. Пусть $a = 2$ см и $b = 4$ см. Диагональ параллелепипеда $d = 6$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Запишем формулу для диагонали $d$:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти третье ребро $c$. Для удобства вычислений будем использовать сантиметры.
$6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2$
$36 = 4 + 16 + c^2$
$36 = 20 + c^2$

Выразим $c^2$ из полученного уравнения:
$c^2 = 36 - 20$
$c^2 = 16$

Найдем длину третьего ребра $c$, извлекая квадратный корень:
$c = \sqrt{16} = 4$ см

Теперь, когда известны все три измерения параллелепипеда ($a=2$ см, $b=4$ см, $c=4$ см), можно найти его объем $V$. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трех его измерений:
$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим числовые значения:
$V = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32 \text{ см}^3$

Ответ: $32 \text{ см}^3$.

27. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см, 3 см. Объем параллелепипеда равен $36 \text{ см}^3$.

Найдите его диагональ.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Ребро $a = 2 \text{ см}$

Ребро $b = 3 \text{ см}$

Объем $V = 36 \text{ см}^3$

Перевод в СИ:
$a = 0.02 \text{ м}$
$b = 0.03 \text{ м}$
$V = 36 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 36 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 3.6 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

Диагональ параллелепипеда $d$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле как произведение длин трех его ребер, выходящих из одной вершины (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$):

$V = a \cdot b \cdot c$

В условии задачи даны длины двух ребер и объем. Используя формулу объема, мы можем найти длину третьего ребра $c$. Подставим известные значения:

$36 \text{ см}^3 = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot c$

$36 = 6 \cdot c$

Отсюда выразим и вычислим $c$:

$c = \frac{36}{6} = 6 \text{ см}$

Таким образом, измерения параллелепипеда равны $2$ см, $3$ см и $6$ см.

Теперь найдем диагональ параллелепипеда. Квадрат диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим значения длин ребер в эту формулу:

$d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$

$d^2 = 4 + 9 + 36$

$d^2 = 49$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$d = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$

Ответ: $7 \text{ см}$.

28. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его объем увеличится на 19 $cm^3$. Найдите ребро куба.

Дано:

Увеличение ребра куба, $ \Delta l = 1 \text{ см} $
Увеличение объема куба, $ \Delta V = 19 \text{ см}^3 $

Перевод в систему СИ:
$ \Delta l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} $
$ \Delta V = 19 \text{ см}^3 = 19 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 19 \times 10^{-6} \text{ м}^3 $

Найти:

Начальное ребро куба, $ a $.

Решение:

Обозначим длину ребра исходного куба через $a$. Тогда его объем $V_1$ вычисляется по формуле:
$ V_1 = a^3 $
После увеличения каждого ребра на 1 см, новое ребро будет равно $a + 1$ см.
Объем нового куба $V_2$ будет равен:
$ V_2 = (a + 1)^3 $
По условию задачи, разница между новым и старым объемом составляет 19 см³.
$ V_2 - V_1 = \Delta V $
Составим уравнение, подставив известные значения (для удобства вычислений будем использовать сантиметры):
$ (a + 1)^3 - a^3 = 19 $
Для решения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
$ (a^3 + 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 + 1^3) - a^3 = 19 $
$ a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 19 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 3a^2 + 3a + 1 = 19 $
Перенесем 19 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$ 3a^2 + 3a + 1 - 19 = 0 $
$ 3a^2 + 3a - 18 = 0 $
Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:
$ a^2 + a - 6 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ :
$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
$ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $
Поскольку длина ребра куба является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $a_2 = -3$ не является решением задачи.
Таким образом, искомая длина ребра куба равна 2 см.

Проверка:
Начальный объем куба: $V_1 = 2^3 = 8 \text{ см}^3$.
Новое ребро: $2 + 1 = 3 \text{ см}$.
Новый объем: $V_2 = 3^3 = 27 \text{ см}^3$.
Увеличение объема: $\Delta V = V_2 - V_1 = 27 - 8 = 19 \text{ см}^3$.
Результат проверки совпадает с условием задачи.

Ответ: $2 \text{ см}$.

29. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание параллелепипеда — ромб.

Сторона ромба, $a = 1$ см.

Острый угол ромба, $\alpha = 60°$.

Боковое ребро параллелепипеда, $b = 2$ см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, $\beta = 60°$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда, $V$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Сначала найдем площадь основания. Основанием является ромб со стороной $a = 1$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим наши значения:

$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Теперь найдем высоту параллелепипеда $H$. Высота представляет собой перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Боковое ребро $b$ является наклонной к плоскости основания, а высота $H$ — перпендикуляром. Угол между ребром и плоскостью основания $\beta = 60°$.

Таким образом, высота $H$, боковое ребро $b$ и проекция ребра на основание образуют прямоугольный треугольник, в котором $b$ — гипотенуза, а $H$ — катет, противолежащий углу $\beta$. Следовательно, $H = b \cdot \sin(\beta)$.

Подставим известные значения:

$H = 2 \cdot \sin(60°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Наконец, вычислим объем параллелепипеда, умножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см³.

Ответ: 1.5 см³.

30. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра.

Радиус основания цилиндра, $r = 2$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h_{цил} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда, $V_{пар}$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = S_{осн} \cdot h_{пар}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h_{пар}$ — высота параллелепипеда.

Поскольку параллелепипед описан около цилиндра, его высота равна высоте цилиндра. Следовательно, $h_{пар} = h_{цил} = 2$ см.

Основанием параллелепипеда является прямоугольник, описанный около окружности, которая является основанием цилиндра. Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом. Сторона этого квадрата равна диаметру вписанной окружности.

Найдем диаметр основания цилиндра: $d = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Таким образом, основанием параллелепипеда является квадрат со стороной $a = 4$ см. Площадь основания параллелепипеда равна: $S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:

$V_{пар} = S_{осн} \cdot h_{пар} = 16 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = 32 \text{ см}^3$.

Ответ: $32 \text{ см}^3$.

31. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен $1 \text{ см}$. Объем параллелепипеда равен $8 \text{ см}^3$. Найдите высоту цилиндра.

Дано:
Радиус основания цилиндра, $r = 1$ см
Объем прямоугольного параллелепипеда, $V_p = 8$ см³

Перевод в систему СИ:
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$V_p = 8 \text{ см}^3 = 8 \times (10^{-2})^3 \text{ м}^3 = 8 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:
Высоту цилиндра, $h_c$.

Решение:
Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, это означает, что цилиндр вписан в параллелепипед. Из этого следует, что основания цилиндра (окружности) вписаны в основания параллелепипеда (прямоугольники). Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом.
Таким образом, в основании параллелепипеда лежит квадрат. Сторона этого квадрата, обозначим ее $a$, равна диаметру $d$ вписанной окружности.
Диаметр основания цилиндра равен двум его радиусам:
$a = d = 2r$
Подставим значение радиуса $r = 1$ см:
$a = 2 \times 1 = 2$ см.
Объем прямоугольного параллелепипеда $V_p$ вычисляется как произведение площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h_p$:
$V_p = S_{осн} \times h_p$
Площадь основания (квадрата со стороной $a$) составляет:
$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см².
Поскольку цилиндр вписан в параллелепипед, их высоты равны. Обозначим высоту цилиндра $h_c$ и высоту параллелепипеда $h_p$ как $h$:
$h_c = h_p = h$
Теперь из формулы объема параллелепипеда выразим и найдем высоту $h$:
$h = \frac{V_p}{S_{осн}}$
$h = \frac{8}{4} = 2$ см.
Следовательно, высота цилиндра равна 2 см.

Ответ: 2 см.

32. Куб описан около сферы радиусом 2 см. Найдите его объем.

Дано:

Куб описан около сферы.

Радиус сферы $R = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Если куб описан около сферы, это значит, что сфера вписана в куб. В этом случае сфера касается центра каждой из шести граней куба. Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, а также диаметру вписанной сферы.

Пусть $a$ — длина ребра куба, а $D$ — диаметр сферы.

Тогда длина ребра куба равна диаметру вписанной сферы:

$a = D$

Диаметр сферы равен двум ее радиусам $R$:

$D = 2R$

Следовательно, мы можем найти длину ребра куба:

$a = 2R = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Объем куба $V$ вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение длины ребра $a$ в формулу:

$V = (4 \text{ см})^3 = 4 \times 4 \times 4 \text{ см}^3 = 64 \text{ см}^3$

Для вычисления в системе СИ используем значение ребра в метрах:

$a = 0.04 \text{ м}$

$V = (0.04 \text{ м})^3 = 0.000064 \text{ м}^3$

Ответ: объем куба равен $64 \text{ см}^3$.

33. Объем куба, описанного около сферы, равен $216 \text{ см}^3$. Найдите радиус сферы.

Дано:

Объем куба, описанного около сферы, $V_{куба} = 216 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:
Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1000000 \text{ см}^3 = 10^6 \text{ см}^3$.
$V_{куба} = 216 \text{ см}^3 = 216 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.000216 \text{ м}^3$.

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$, где $a$ – длина ребра куба. Используя данные из условия, найдем длину ребра куба:

$a = \sqrt[3]{V_{куба}} = \sqrt[3]{216 \text{ см}^3}$

Так как $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$, то $a = 6 \text{ см}$.

Если куб описан около сферы, это означает, что сфера вписана в куб. В этом случае сфера касается центров всех шести граней куба. Следовательно, диаметр сферы $D$ равен длине ребра куба $a$.

$D = a = 6 \text{ см}$.

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2}$.

Подставим найденное значение диаметра:

$R = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Ответ: $3 \text{ см}$.

34. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $32 \text{ см}^3$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Дано:

Объем исходной треугольной призмы $V_{исх} = 32 \text{ см}^3$.

$V_{исх} = 32 \text{ см}^3 = 32 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 32 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченной треугольной призмы $V_{отсеч}$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Для исходной призмы имеем:

$V_{исх} = S_{исх} \cdot H = 32 \text{ см}^3$, где $S_{исх}$ — площадь треугольника в основании исходной призмы.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру. Это означает, что она отсекает от исходной призмы другую, меньшую треугольную призму.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру, высота отсеченной призмы $H_{отсеч}$ равна высоте исходной призмы $H$.

$H_{отсеч} = H$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим площадь этого меньшего треугольника как $S_{отсеч}$.

По свойству средней линии, треугольник, который она отсекает, подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше сторон большого.

$k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда, площадь основания отсеченной призмы составляет $1/4$ от площади основания исходной призмы:

$S_{отсеч} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь найдем объем отсеченной призмы:

$V_{отсеч} = S_{отсеч} \cdot H = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot H = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot H)$.

Так как $S_{исх} \cdot H = V_{исх}$, получаем:

$V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим известное значение объема исходной призмы:

$V_{отсеч} = \frac{1}{4} \cdot 32 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: $8 \text{ см}^3$.

35. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен $5 \text{ см}^3$. Найдите объем исходной призмы.

Дано

Исходная фигура – треугольная призма.

Секущая плоскость проведена через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.

Объем отсеченной треугольной призмы $V_{отс} = 5 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем исходной призмы $V_{исх}$.

Решение

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

Пусть $V_{исх}$ – объем исходной призмы, $S_{исх}$ – площадь ее основания, $H$ – ее высота. Тогда $V_{исх} = S_{исх} \cdot H$.

Секущая плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму. Обозначим ее объем как $V_{отс}$, а площадь ее основания как $S_{отс}$.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру исходной призмы, высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы, то есть $H$.

Следовательно, объем отсеченной призмы равен $V_{отс} = S_{отс} \cdot H$.

Найдем соотношение объемов исходной и отсеченной призм:

$\frac{V_{исх}}{V_{отс}} = \frac{S_{исх} \cdot H}{S_{отс} \cdot H} = \frac{S_{исх}}{S_{отс}}$

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается от треугольника-основания исходной призмы его средней линией.

Пусть основание исходной призмы – это треугольник $\triangle ABC$. Средняя линия, например $MN$, соединяет середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$). Треугольник $\triangle MBN$, который является основанием отсеченной призмы, подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению длин соответствующих сторон. Так как $MN$ – средняя линия, то $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что $S_{исх} = 4 \cdot S_{отс}$.

Теперь подставим это соотношение в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_{исх}}{V_{отс}} = \frac{4 \cdot S_{отс}}{S_{отс}} = 4$

Таким образом, объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы:

$V_{исх} = 4 \cdot V_{отс}$

Подставляем известное значение $V_{отс} = 5 \text{ см}^3$:

$V_{исх} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}^3$

Ответ: 20 см³.

36. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2 см, а боковые ребра равны $2\sqrt{3}$ см и наклонены к плоскости основания под углом $30^{\circ}$.

Дано:

Призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Сторона основания $a = 2 \text{ см}$

Длина бокового ребра $l = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 2 \text{ см}$. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2 \text{ см}$:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь всего шестиугольника (основания призмы) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$

2. Найдем высоту призмы $H$.

Высота призмы $H$, боковое ребро $l$ и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, высота $H$ — катетом, противолежащим углу наклона $\alpha$.

Следовательно, высоту можно найти через синус угла $\alpha$:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $l = 2\sqrt{3} \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$

3. Теперь вычислим объем призмы $V$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см}^3$

Ответ: $18 \text{ см}^3$.

37. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите ее объем.

Дано:

В правильной четырехугольной пирамиде высота $H = 6$ см, боковое ребро $l = 10$ см.

Перевод в систему СИ: $H = 0.06$ м, $l = 0.1$ м.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (которое является гипотенузой) и половиной диагонали основания (обозначим ее $R$). По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Выразим и найдем квадрат половины диагонали $R^2$. Для удобства проведем вычисления в сантиметрах:

$R^2 = l^2 - H^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \text{ см}^2$.

Полная диагональ основания $d$ равна $2R$. Площадь квадрата (основания) можно вычислить через его диагональ по формуле $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. Так как $d^2 = (2R)^2 = 4R^2$, получаем:

$S_{осн} = \frac{4R^2}{2} = 2R^2 = 2 \cdot 64 = 128 \text{ см}^2$.

Теперь вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot \frac{6}{3} = 128 \cdot 2 = 256 \text{ см}^3$.

Ответ: $256 \text{ см}^3$.

38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, объем равен 200 $см^3$. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Высота $h = 12$ см

Объем $V = 200$ см³

Найти:

Боковое ребро $l$

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона основания равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Подставим известные значения в формулу объема, чтобы найти площадь основания:

$200 = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot 12$

$200 = 4 \cdot S_{осн}$

$S_{осн} = \frac{200}{4} = 50$ см²

Теперь, зная площадь основания, найдем его сторону $a$:

$a^2 = 50$

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см

Боковое ребро пирамиды $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $h$ и половина диагонали основания $(\frac{d}{2})$.

Найдем диагональ $d$ квадрата в основании по формуле $d = a\sqrt{2}$:

$d = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$ см

Следовательно, половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Теперь по теореме Пифагора найдем боковое ребро $l$:

$l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$

$l^2 = 12^2 + 5^2$

$l^2 = 144 + 25$

$l^2 = 169$

$l = \sqrt{169} = 13$ см

Ответ: 13 см.