Страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

87. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 4 см. Боковые ребра призмы равны 6 см. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

Дано:

Призма — прямая, в основании правильный треугольник.

Сторона основания призмы, $a = 4$ см.

Боковое ребро (высота) призмы, $H_{пр} = 6$ см.

$a = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$H_{пр} = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного цилиндра, $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot H_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$,

где $r$ — радиус основания цилиндра, а $H_{цил}$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в прямую призму, его высота равна высоте призмы. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

$H_{цил} = H_{пр} = 6$ см.

Основанием вписанного цилиндра является круг, вписанный в основание призмы. В нашем случае основание призмы — это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 4$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны $a = 4$ см:

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь, когда известны радиус основания и высота цилиндра, можно вычислить его объем:

$V_{цил} = \pi r^2 H_{цил} = \pi \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot 6$

Выполним вычисления:

$V_{цил} = \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot 6 = \pi \cdot 4 \cdot \frac{6}{3} = \pi \cdot 4 \cdot 2 = 8\pi$ см³.

Ответ: $8\pi$ см³.

88. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2 см. Боковые ребра призмы равны 6 см. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма - прямая, в основании которой лежит правильный треугольник.

Сторона основания призмы, $a = 2 \text{ см}$

Боковое ребро (высота призмы), $h_{пр} = 6 \text{ см}$

Цилиндр описан около призмы.

Перевод в систему СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$h_{пр} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, $V_{цил}$

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил}$, где $S_{осн}$ — площадь основания цилиндра, а $h_{цил}$ — его высота.

Поскольку цилиндр описан около прямой призмы, его высота равна высоте призмы:

$h_{цил} = h_{пр} = 6 \text{ см}$.

Основанием цилиндра является круг, описанный около основания призмы, то есть около правильного треугольника. Радиус этого круга, $R$, будет радиусом основания цилиндра. Найдем его по формуле радиуса окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 2 \text{ см}$:

$R = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см}$

Теперь найдем площадь основания цилиндра, которая равна площади круга с радиусом $R$:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \text{ см}^2$

Наконец, вычислим объем цилиндра, умножив площадь основания на высоту:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил} = \frac{4\pi}{3} \cdot 6 = 4\pi \cdot \frac{6}{3} = 4\pi \cdot 2 = 8\pi \text{ см}^3$

Ответ: $8\pi \text{ см}^3$

89. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

Дано:

Правильная треугольная призма.
Цилиндр 1 - описан около призмы.
Цилиндр 2 - вписан в призму.
$V_1$ - объем описанного цилиндра.
$V_2$ - объем вписанного цилиндра.

Найти:

$\frac{V_1}{V_2}$

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота.

Поскольку оба цилиндра, вписанный и описанный, относятся к одной и той же правильной призме, их высоты равны высоте призмы. Обозначим высоту как $h$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

1. Описанный цилиндр (Цилиндр 1).
Основание этого цилиндра - круг, описанный около равностороннего треугольника в основании призмы. Радиус этого круга (обозначим его $R$) является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Тогда объем описанного цилиндра равен:
$V_1 = \pi R^2 h = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{9} h = \frac{\pi a^2 h}{3}$

2. Вписанный цилиндр (Цилиндр 2).
Основание этого цилиндра - круг, вписанный в равносторонний треугольник в основании призмы. Радиус этого круга (обозначим его $r$) является радиусом вписанной окружности для равностороннего треугольника.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Тогда объем вписанного цилиндра равен:
$V_2 = \pi r^2 h = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} h = \frac{\pi a^2 h}{12}$

3. Отношение объемов.
Теперь найдем, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{3}}{\frac{\pi a^2 h}{12}}$
Сокращаем одинаковые множители $\pi a^2 h$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/3}{1/12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{1} = 4$
Можно решить задачу проще, заметив, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности ($R = 2r$).
Тогда отношение объемов:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{R^2}{r^2} = (\frac{R}{r})^2 = (\frac{2r}{r})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: объем цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, в 4 раза больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму.

90. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1 см. Боковые ребра равны 4 см. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма прямая, в основании квадрат.

Сторона основания призмы, $a = 1$ см.

Высота призмы (боковое ребро), $H_{пр} = 4$ см.

Вокруг призмы описан цилиндр.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$H_{пр} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = S_{осн} \cdot H_{цил} = \pi R^2 H_{цил}$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H_{цил}$ — его высота.

Так как цилиндр описан около прямой призмы, их высоты равны. Следовательно, высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$.

$H_{цил} = H_{пр} = 4$ см.

Основание цилиндра — это круг, описанный около основания призмы, то есть около квадрата со стороной $a=1$ см. Радиус круга, описанного около квадрата, равен половине диагонали этого квадрата.

Найдем диагональ $d$ квадрата по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим значение стороны квадрата $a=1$ см:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус $R$ основания цилиндра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $H_{цил}$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi R^2 H_{цил} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 4$.

$V_{цил} = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 4 = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\pi$ см$^3$.

Ответ: $2\pi$ см$^3$.

91. Во сколько раз объем цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, больше объема цилиндра, описанного около этой же призмы?

Дано:

Правильная четырехугольная призма.

$V_{впис}$ — объем цилиндра, вписанного в призму.

$V_{опис}$ — объем цилиндра, описанного около призмы.

Найти:

Отношение $\frac{V_{впис}}{V_{опис}}$, чтобы ответить на вопрос "во сколько раз объем вписанного цилиндра больше объема описанного".

Решение:

Пусть сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Так как призма правильная, ее основанием является квадрат со стороной $a$.

Высота как вписанного, так и описанного цилиндра будет равна высоте призмы $h$.

Найдем объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$). Его основание — это круг, вписанный в квадратное основание призмы. Радиус такого круга $r_{впис}$ равен половине стороны квадрата:

$r_{впис} = \frac{a}{2}$

Объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$) равен:

$V_{впис} = \pi r_{впис}^2 h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4}$

Теперь найдем объем описанного цилиндра ($V_{опис}$). Его основание — это круг, описанный около квадратного основания призмы. Диаметр этого круга равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется как $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанного круга $r_{опис}$ равен половине диагонали:

$r_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Объем описанного цилиндра ($V_{опис}$) равен:

$V_{опис} = \pi r_{опис}^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h = \frac{\pi a^2 h}{2}$

Для ответа на вопрос задачи найдем отношение объема вписанного цилиндра к объему описанного цилиндра:

$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{4}}{\frac{\pi a^2 h}{2}}$

Сократим общие множители $\pi$, $a^2$ и $h$:

$\frac{V_{впис}}{V_{опис}} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Вопрос в задаче "во сколько раз объем вписанного цилиндра больше объема описанного" предполагает нахождение отношения $\frac{V_{впис}}{V_{опис}}$. Полученное значение $0,5$ показывает, что объем вписанного цилиндра на самом деле меньше объема описанного. Тем не менее, это является формально правильным ответом на поставленный вопрос.

Ответ: в 0,5 раза.

92. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1 см и боковым ребром 6 см вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная.
Сторона основания призмы, $a = 1$ см.
Боковое ребро призмы, $H = 6$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем вписанного цилиндра, $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил}$, где $S_{осн}$ - площадь основания цилиндра, а $h_{цил}$ - его высота.

Поскольку цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его высота равна высоте призмы, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник).

1. Найдем высоту цилиндра. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $h_{цил} = H = 6$ см.

2. Найдем радиус основания цилиндра. Радиус основания цилиндра, $r_{цил}$, равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$. Этот радиус также является апофемой шестиугольника. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности находится по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ Подставим значение стороны основания призмы $a = 1$ см: $r_{цил} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Найдем площадь основания цилиндра. Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r_{цил}^2$ Подставим найденное значение радиуса: $S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см².

4. Найдем объем цилиндра. Теперь можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил} = \frac{3\pi}{4} \cdot 6 = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi$ см³.

Ответ: объем этого цилиндра равен $4.5\pi$ см³.

93. Около правильной шестиугольной призмы со стороной основания 1 см описан цилиндр. Боковые ребра призмы равны 6 см. Найдите объем этого цилиндра.

Дано:

Правильная шестиугольная призма
Сторона основания призмы, $a = 1$ см
Боковое ребро (высота) призмы, $h_{призмы} = 6$ см
Цилиндр описан около призмы

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{призмы} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, $V_{цилиндра}$.

Решение:

Объем цилиндра находится по формуле: $V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания цилиндра, а $H$ - его высота. Площадь основания, являющегося кругом, равна $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ - радиус основания. Таким образом, формула для объема приобретает вид: $V_{цилиндра} = \pi R^2 H$.

Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, то высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h_{призмы}$. Вершины основания призмы лежат на окружности основания цилиндра.

Следовательно, высота цилиндра:

$H = h_{призмы} = 6$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, который лежит в основании призмы. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a$.

$R = a = 1$ см.

Теперь подставим найденные значения высоты $H$ и радиуса $R$ в формулу для объема цилиндра:

$V_{цилиндра} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 1 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 6\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $6\pi \text{ см}^3$.

94. Найдите объем цилиндра, описанного около шара, объем которого равен $1 \text{ см}^3$.

Дано:

Объем шара $V_{шара} = 1 \text{ см}^3$.

Цилиндр описан около шара.

Перевод в систему СИ:

$V_{шара} = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем цилиндра $V_{цил}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - это радиус шара.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = \pi R_{цил}^2 h_{цил}$, где $R_{цил}$ - это радиус основания цилиндра, а $h_{цил}$ - его высота.

По условию, цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается оснований и боковой поверхности цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра равен радиусу шара ($R_{цил} = R$), а высота цилиндра равна диаметру шара ($h_{цил} = 2R$).

Подставим эти соотношения в формулу для объема цилиндра:

$V_{цил} = \pi (R)^2 \cdot (2R) = 2\pi R^3$.

Теперь мы можем выразить объем цилиндра через объем шара. Для этого найдем их отношение:

$\frac{V_{цил}}{V_{шара}} = \frac{2\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сократив $\pi R^3$, получим:

$\frac{V_{цил}}{V_{шара}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Таким образом, объем описанного цилиндра в 1,5 раза больше объема вписанного шара:

$V_{цил} = 1,5 \cdot V_{шара}$.

Подставим известное значение объема шара:

$V_{цил} = 1,5 \cdot 1 \text{ см}^3 = 1,5 \text{ см}^3$.

Ответ: $1,5 \text{ см}^3$.

95. Объем шара равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем конуса, основанием которого является большой круг данного шара, а высотой — радиус, перпендикулярный плоскости этого круга.

Дано:

Объем шара $V_{шара} = 12 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$

$1 \text{ см}^3 = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

$V_{шара} = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем конуса $V_{конуса}$.

Решение:

Объем шара радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$

По условию задачи, объем шара равен $12 \text{ см}^3$, значит:

$\frac{4}{3} \pi R^3 = 12 \text{ см}^3$

Объем конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Из условия задачи известно, что основанием конуса является большой круг данного шара. Радиус большого круга равен радиусу шара $R$. Следовательно, радиус основания конуса $r = R$.

Также по условию, высота конуса равна радиусу шара, то есть $h = R$.

Подставим эти значения в формулу для объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$

Теперь сравним формулы для объемов шара и конуса:

$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 4 \cdot (\frac{1}{3} \pi R^3)$

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^3$

Отсюда видно, что объем шара в 4 раза больше объема рассматриваемого конуса:

$V_{шара} = 4 \cdot V_{конуса}$

Выразим объем конуса:

$V_{конуса} = \frac{V_{шара}}{4}$

Подставим данное значение объема шара:

$V_{конуса} = \frac{12 \text{ см}^3}{4} = 3 \text{ см}^3$

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

1. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см, 3 см. Найдите его площадь поверхности.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед, у которого ребра, выходящие из одной вершины (длина, ширина и высота), равны:
a = 1 см
b = 2 см
c = 3 см

Перевод в систему СИ:
a = 1 см = 0.01 м
b = 2 см = 0.02 м
c = 3 см = 0.03 м

Найти:
Площадь поверхности S

Решение:
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней. У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны. Это значит, что он состоит из трех пар одинаковых прямоугольных граней. Площади этих пар граней равны $ab$, $ac$ и $bc$.
Формула для вычисления площади полной поверхности выглядит следующим образом:
$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$
Подставим в данную формулу значения длин ребер из условия задачи:
$a = 1 \text{ см}$, $b = 2 \text{ см}$, $c = 3 \text{ см}$.
$S = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3)$
Сначала выполним действия умножения в скобках:
$1 \cdot 2 = 2 \text{ см}^2$
$1 \cdot 3 = 3 \text{ см}^2$
$2 \cdot 3 = 6 \text{ см}^2$
Теперь сложим полученные значения площадей:
$2 + 3 + 6 = 11 \text{ см}^2$
На последнем шаге умножим полученную сумму на 2, чтобы найти общую площадь поверхности:
$S = 2 \cdot 11 = 22 \text{ см}^2$

Ответ: $22 \text{ см}^2$.

2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 см и 4 см. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52 $ \text{см}^2 $. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед
Ребро $a = 3 \text{ см}$
Ребро $b = 4 \text{ см}$
Площадь полной поверхности $S_{пов} = 52 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$S_{пов} = 52 \text{ см}^2 = 52 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 52 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0052 \text{ м}^2$

Найти:
Третье ребро $c$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда определяется суммой площадей всех его шести граней. Формула для вычисления площади полной поверхности выглядит следующим образом, где $a$, $b$ и $c$ – это три ребра, выходящие из одной вершины (длина, ширина и высота):

$S_{пов} = 2(ab + ac + bc)$

По условию задачи нам известны длины двух рёбер ($a = 3 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$) и площадь полной поверхности ($S_{пов} = 52 \text{ см}^2$). Необходимо найти длину третьего ребра $c$.

Подставим известные значения в формулу:

$52 = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot c + 4 \cdot c)$

Упростим выражение внутри скобок:

$52 = 2(12 + 7c)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$26 = 12 + 7c$

Вычтем 12 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать слагаемое с неизвестной $c$:

$26 - 12 = 7c$

$14 = 7c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части на 7:

$c = \frac{14}{7}$

$c = 2 \text{ см}$

Следовательно, третье ребро, выходящее из той же вершины, равно 2 см.

Ответ: 2 см.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Дано:

$a_1$ - начальная длина ребра куба
$S_1$ - начальная площадь поверхности куба
$a_2$ - конечная длина ребра куба, после увеличения
$S_2$ - конечная площадь поверхности куба
$a_2 = 3 \cdot a_1$

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности, то есть найти отношение $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба состоит из площадей шести его граней, каждая из которых является квадратом. Площадь одного квадрата с ребром $a$ равна $a^2$. Следовательно, формула для площади полной поверхности куба:

$S = 6a^2$

Площадь поверхности исходного куба с ребром $a_1$ равна:

$S_1 = 6a_1^2$

По условию, ребро куба увеличили в три раза. Новая длина ребра $a_2$ будет:

$a_2 = 3a_1$

Найдем площадь поверхности нового куба с ребром $a_2$:

$S_2 = 6a_2^2 = 6(3a_1)^2 = 6 \cdot (3^2 \cdot a_1^2) = 6 \cdot 9a_1^2 = 54a_1^2$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, найдем отношение новой площади $S_2$ к старой $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a_1^2}{6a_1^2}$

Сократим в дроби $6$ и $a_1^2$:

$\frac{S_2}{S_1} = 9$

Следовательно, площадь поверхности куба увеличится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Дано:

Коэффициент увеличения ребер тетраэдра $k = 2$.

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности тетраэдра. Отношение новой площади $S_{нов}$ к старой $S_{стар}$.

Решение:

Площадь поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра, является суммой площадей его граней. В случае тетраэдра, его поверхность состоит из четырех треугольных граней.

Пусть $S_{стар}$ - это начальная площадь поверхности тетраэдра. Она равна сумме площадей его четырех граней:

$S_{стар} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$, где $S_1, S_2, S_3, S_4$ - площади треугольных граней.

Площадь любой двумерной фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Например, площадь треугольника со сторонами $a, b, c$ можно вычислить по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = (a+b+c)/2$ - полупериметр.

По условию задачи, все ребра тетраэдра увеличили в 2 раза. Это означает, что стороны каждого треугольника, образующего грань тетраэдра, также увеличились в 2 раза. Пусть новые стороны равны $a' = 2a$, $b' = 2b$, $c' = 2c$.

Новый полупериметр $p'$ для каждой грани будет равен $p' = (2a+2b+2c)/2 = 2 \cdot (a+b+c)/2 = 2p$.

Тогда новая площадь грани $S'$ будет равна:

$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')} = \sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)} = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)} = 4 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 4S$.

Таким образом, площадь каждой грани тетраэдра увеличится в 4 раза.

Новая площадь поверхности тетраэдра $S_{нов}$ будет равна сумме новых площадей граней:

$S_{нов} = 4S_1 + 4S_2 + 4S_3 + 4S_4 = 4(S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = 4S_{стар}$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_{нов}}{S_{стар}} = \frac{4S_{стар}}{S_{стар}} = 4$.

Этот результат является общим для подобных фигур. При увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз, его площадь поверхности увеличивается в $k^2$ раз. В нашем случае $k=2$, поэтому площадь увеличивается в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: Площадь поверхности тетраэдра увеличится в 4 раза.

5. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3 см, а высота – 6 см.

Дано:
Фигура: правильная шестиугольная призма
Сторона основания: $a = 3$ см
Высота: $h = 6$ см

$a = 0.03$ м
$h = 0.06$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется как произведение периметра её основания на высоту. Формула для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где $P_{осн}$ — это периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием данной призмы является правильный шестиугольник. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$P_{осн} = 6 \cdot a$

Подставим в эту формулу значение стороны основания $a = 3$ см:

$P_{осн} = 6 \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Теперь, зная периметр основания и высоту призмы ($h = 6$ см), мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^2$

Ответ: $108 \text{ см}^2$.