Номер 4, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Дано:

Коэффициент увеличения ребер тетраэдра $k = 2$.

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности тетраэдра. Отношение новой площади $S_{нов}$ к старой $S_{стар}$.

Решение:

Площадь поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра, является суммой площадей его граней. В случае тетраэдра, его поверхность состоит из четырех треугольных граней.

Пусть $S_{стар}$ - это начальная площадь поверхности тетраэдра. Она равна сумме площадей его четырех граней:

$S_{стар} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$, где $S_1, S_2, S_3, S_4$ - площади треугольных граней.

Площадь любой двумерной фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Например, площадь треугольника со сторонами $a, b, c$ можно вычислить по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = (a+b+c)/2$ - полупериметр.

По условию задачи, все ребра тетраэдра увеличили в 2 раза. Это означает, что стороны каждого треугольника, образующего грань тетраэдра, также увеличились в 2 раза. Пусть новые стороны равны $a' = 2a$, $b' = 2b$, $c' = 2c$.

Новый полупериметр $p'$ для каждой грани будет равен $p' = (2a+2b+2c)/2 = 2 \cdot (a+b+c)/2 = 2p$.

Тогда новая площадь грани $S'$ будет равна:

$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')} = \sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)} = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)} = 4 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 4S$.

Таким образом, площадь каждой грани тетраэдра увеличится в 4 раза.

Новая площадь поверхности тетраэдра $S_{нов}$ будет равна сумме новых площадей граней:

$S_{нов} = 4S_1 + 4S_2 + 4S_3 + 4S_4 = 4(S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = 4S_{стар}$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_{нов}}{S_{стар}} = \frac{4S_{стар}}{S_{стар}} = 4$.

Этот результат является общим для подобных фигур. При увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз, его площадь поверхности увеличивается в $k^2$ раз. В нашем случае $k=2$, поэтому площадь увеличивается в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: Площадь поверхности тетраэдра увеличится в 4 раза.