Номер 6, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь ее поверхности.

Дано:
Призма - прямая, треугольная.
Основание - прямоугольный треугольник.
Катет основания $a = 6$ см.
Катет основания $b = 8$ см.
Высота призмы $h = 10$ см.

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:
Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:
Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$
1. Найдем площадь одного основания. Основанием является прямоугольный треугольник, и его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$.
2. Найдем площадь боковой поверхности. Для прямой призмы она равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Для нахождения периметра основания необходимо знать все его стороны. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.
Теперь найдем периметр основания, сложив длины всех его сторон:
$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$.
Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2$.
3. Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.