Страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь ее поверхности.

Дано:
Призма - прямая, треугольная.
Основание - прямоугольный треугольник.
Катет основания $a = 6$ см.
Катет основания $b = 8$ см.
Высота призмы $h = 10$ см.

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:
Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:
Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$
1. Найдем площадь одного основания. Основанием является прямоугольный треугольник, и его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$.
2. Найдем площадь боковой поверхности. Для прямой призмы она равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Для нахождения периметра основания необходимо знать все его стороны. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.
Теперь найдем периметр основания, сложив длины всех его сторон:
$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$.
Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2$.
3. Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.

7. Длина окружности основания цилиндра равна 3 см, высота равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дано:

Длина окружности основания цилиндра, $C = 3$ см

Высота цилиндра, $h = 2$ см

$C = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$h = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра, $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, представив ее в виде развертки. Разверткой боковой поверхности прямого цилиндра является прямоугольник. Длина одной стороны этого прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ($C$), а длина другой стороны равна высоте цилиндра ($h$).

Таким образом, площадь боковой поверхности вычисляется как площадь этого прямоугольника по формуле:

$S_{бок} = C \cdot h$

Подставим в формулу значения, данные в условии задачи:

$S_{бок} = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

8. Длина окружности основания конуса равна $3$ см, образующая равна $2$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано:

Длина окружности основания конуса $C = 3$ см

Образующая конуса $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$C = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

В условии задачи радиус $r$ не дан, но дана длина окружности основания $C$. Длина окружности связана с радиусом формулой: $C = 2 \pi r$.

Из этой формулы можно выразить радиус основания:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Теперь подставим полученное выражение для радиуса $r$ в формулу площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right) l$

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе, получим более простую формулу для вычисления:

$S_{бок} = \frac{C l}{2}$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия задачи ($C = 3$ см и $l = 2$ см):

$S_{бок} = \frac{3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}^2}{2} = 3 \text{ см}^2$

Ответ: $3 \text{ см}^2$.

9. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в три раза?

Дано:

$l_1$ — начальная образующая конуса.
$l_2 = 3 \cdot l_1$ — конечная образующая конуса.
$r$ — радиус основания конуса (не изменяется).

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности, то есть найти отношение $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса имеет вид: $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — это длина его образующей.

Пусть начальная площадь боковой поверхности конуса равна $S_1$. Она вычисляется с начальной образующей $l_1$: $S_1 = \pi \cdot r \cdot l_1$.

По условию задачи, образующую увеличили в три раза. Это означает, что новая образующая $l_2$ связана с начальной $l_1$ соотношением: $l_2 = 3 \cdot l_1$.

Новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет вычисляться с новой образующей $l_2$: $S_2 = \pi \cdot r \cdot l_2 = \pi \cdot r \cdot (3 \cdot l_1)$.

Теперь найдем отношение новой площади $S_2$ к начальной площади $S_1$, чтобы определить, во сколько раз она увеличилась: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot r \cdot (3 \cdot l_1)}{\pi \cdot r \cdot l_1}$.

Сократив одинаковые множители ($\pi$, $r$ и $l_1$) в числителе и знаменателе, получим: $\frac{S_2}{S_1} = 3$.

Это означает, что площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

10. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

Дано:

Пусть $S_1$ - начальная площадь боковой поверхности конуса.
Пусть $R_1$ - начальный радиус основания конуса.
Пусть $L$ - образующая конуса.
Пусть $S_2$ - конечная площадь боковой поверхности конуса.
Пусть $R_2$ - конечный радиус основания конуса.
По условию, радиус основания уменьшили в 1,5 раза, то есть $R_2 = \frac{R_1}{1,5}$.
Предполагается, что образующая конуса $L$ при этом не изменяется.

Найти:

Отношение начальной площади к конечной: $\frac{S_1}{S_2}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — это радиус основания, а $L$ — это длина образующей.

Площадь боковой поверхности исходного конуса равна: $S_1 = \pi R_1 L$

После уменьшения радиуса основания в 1,5 раза новый радиус стал равен $R_2 = \frac{R_1}{1,5}$.

Площадь боковой поверхности нового конуса, с учетом того, что образующая $L$ осталась неизменной, равна: $S_2 = \pi R_2 L = \pi \left(\frac{R_1}{1,5}\right) L$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение $S_1$ к $S_2$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1 L}{\pi \left(\frac{R_1}{1,5}\right) L}$

В этом выражении можно сократить общие множители $\pi$, $R_1$ и $L$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{\frac{1}{1,5}} = 1,5$

Следовательно, площадь боковой поверхности конуса уменьшится в 1,5 раза.

Ответ: в 1,5 раза.

11. Площадь большого круга шара равна $1 \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Дано:

Площадь большого круга шара $S_{кр} = 1 \text{ см}^2$.

$1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь поверхности шара $S_{ш}$.

Решение:

Большой круг шара — это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Радиус большого круга равен радиусу шара. Обозначим радиус шара как $R$.

Площадь большого круга ($S_{кр}$) вычисляется по формуле площади круга:

$S_{кр} = \pi R^2$

Согласно условию, $S_{кр} = 1 \text{ см}^2$, следовательно:

$\pi R^2 = 1 \text{ см}^2$

Площадь поверхности шара ($S_{ш}$) вычисляется по формуле:

$S_{ш} = 4\pi R^2$

Мы можем выразить площадь поверхности шара через площадь его большого круга. Заметим, что в формуле площади поверхности шара присутствует выражение $\pi R^2$, которое равно площади большого круга $S_{кр}$.

Подставим значение $\pi R^2$ в формулу для площади поверхности шара:

$S_{ш} = 4 \cdot (\pi R^2) = 4 \cdot S_{кр}$

Теперь подставим числовое значение площади большого круга из условия задачи:

$S_{ш} = 4 \cdot 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$

Ответ: $4 \text{ см}^2$.

12. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

Дано:

$R_1$ — начальный радиус шара.
$R_2$ — конечный радиус шара.
$R_2 = 2 \cdot R_1$ (радиус увеличили в два раза).

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, то есть найти отношение $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:

Площадь поверхности шара ($S$) вычисляется по формуле:
$S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.

1. Начальная площадь поверхности шара ($S_1$) с радиусом $R_1$ равна:
$S_1 = 4\pi R_1^2$

2. Конечная площадь поверхности шара ($S_2$) с радиусом $R_2 = 2 \cdot R_1$ равна:
$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R_1)^2 = 4\pi (4R_1^2) = 16\pi R_1^2$

3. Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение конечной площади $S_2$ к начальной $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R_1^2}{4\pi R_1^2}$

Сокращаем дробь на $4\pi R_1^2$:
$\frac{S_2}{S_1} = 4$

Следовательно, при увеличении радиуса шара в два раза, площадь его поверхности увеличивается в четыре раза.

Ответ:площадь поверхности шара увеличится в 4 раза.

13. Диагональ куба равна 1 см. Найдите площадь его поверхности.

Дано:

Диагональ куба $d = 1$ см.

$d = 0.01$ м.

Найти:

Площадь поверхности куба $S$.

Решение:

Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба $d$ связана с его ребром $a$ по теореме Пифагора в пространстве. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Для куба все измерения равны $a$, поэтому формула имеет вид:

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Из этой формулы мы можем выразить квадрат ребра $a^2$. Подставим известное значение диагонали $d = 1$ см:

$1^2 = 3a^2$

$1 = 3a^2$

$a^2 = \frac{1}{3}$ см²

Площадь поверхности куба $S$ — это сумма площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$ и площадью $a^2$. Следовательно, общая площадь поверхности равна:

$S = 6 \cdot a^2$

Теперь подставим найденное значение $a^2$ в формулу для площади поверхности:

$S = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ см²

Ответ: $2$ см².

14. Площадь поверхности куба равна $8 cm^2$. Найдите его диагональ.

Дано:

Площадь поверхности куба $S = 8 \text{ см}^2$.

В системе СИ:
$S = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Диагональ куба $d$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба $S$ состоит из площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом. Если обозначить длину ребра куба как $a$, то площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, площадь всей поверхности куба вычисляется по формуле:
$S = 6a^2$

Из этой формулы мы можем выразить квадрат длины ребра куба:
$a^2 = \frac{S}{6}$

Подставим данное значение площади поверхности $S = 8 \text{ см}^2$ в формулу:
$a^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ см}^2$

Диагональ куба $d$ связана с его ребром $a$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора в пространстве. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты), которые для куба равны $a$:
$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Теперь подставим найденное ранее значение $a^2$ в формулу для квадрата диагонали:
$d^2 = 3 \cdot a^2 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \text{ см}^2$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$d = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

15. Площадь поверхности куба равна $24\text{ см}^2$. Найдите его объем.

Дано:

Площадь поверхности куба $S_{пов} = 24 \text{ см}^2$

$S_{пов} = 24 \text{ см}^2 = 24 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S_{пов} = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом с площадью $a^2$.

Используя данное значение площади поверхности, найдем длину ребра куба $a$:
$S_{пов} = 6a^2 = 24 \text{ см}^2$
$a^2 = \frac{24}{6} \text{ см}^2$
$a^2 = 4 \text{ см}^2$
$a = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$

Теперь, зная длину ребра, мы можем найти объем куба. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$.
$V = (2 \text{ см})^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$

Ответ: $8 \text{ см}^3$.

16. Объем куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

Дано

Объем куба $V = 27$ см³

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$V = 27 \cdot (0.01 \text{ м})^3 = 27 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.000027 \text{ м}^3$

Найти:

Площадь поверхности куба $S$

Решение

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — это длина ребра куба. Мы можем найти длину ребра, извлекши кубический корень из объема:

$a = \sqrt[3]{V}$

Подставим известное значение объема:

$a = \sqrt[3]{27 \text{ см}^3} = 3 \text{ см}$

Теперь, когда мы знаем длину ребра, мы можем найти площадь поверхности куба. Поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани ($S_{грани}$) равна квадрату длины ребра:

$S_{грани} = a^2$

Полная площадь поверхности ($S$) — это сумма площадей всех шести граней:

$S = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2$

Подставим найденное значение длины ребра $a = 3$ см:

$S = 6 \cdot (3 \text{ см})^2 = 6 \cdot 9 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$

Ответ: 54 см².

17.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см, 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Ребро $a = 2$ см

Ребро $b = 4$ см

Диагональ $d = 6$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.02$ м

$b = 0.04$ м

$d = 0.06$ м

Найти:

Площадь полной поверхности $S$

Решение:

Пусть три измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b, c$. Из условия задачи нам известны два ребра, выходящие из одной вершины, и диагональ: $a = 2$ см, $b = 4$ см, $d = 6$ см. Третье ребро, $c$, неизвестно.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Формула для вычисления диагонали имеет вид:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину третьего ребра $c$:

$6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2$

$36 = 4 + 16 + c^2$

$36 = 20 + c^2$

Теперь выразим и найдем $c^2$:

$c^2 = 36 - 20$

$c^2 = 16$

Поскольку длина ребра является положительной величиной, находим $c$ путем извлечения квадратного корня:

$c = \sqrt{16} = 4$ см.

Таким образом, мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 2$ см, $b = 4$ см и $c = 4$ см.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) вычисляется как удвоенная сумма площадей трех его попарно перпендикулярных граней:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Подставим значения $a, b$ и $c$ в эту формулу:

$S = 2(2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4)$

$S = 2(8 + 16 + 8)$

$S = 2(32)$

$S = 64$ см$^2$.

Ответ: 64 см$^2$.

18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см. Площадь поверхности параллелепипеда равна $16\text{ см}^2$. Найдите его диагональ.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Ребро a = 1 см

Ребро b = 2 см

Площадь поверхности S = 16 см²

Перевод в систему СИ:

a = 0.01 м

b = 0.02 м

S = 0.0016 м²

Найти:

Диагональ параллелепипеда d.

Решение:

Обозначим три измерения (ребра) прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, как a, b и c. По условию задачи нам даны два из них: $a = 1$ см и $b = 2$ см.

Формула площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти третье ребро c. Площадь поверхности $S = 16$ см².

$16 = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot c + 2 \cdot c)$

Упростим выражение в скобках:

$16 = 2(2 + 3c)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$8 = 2 + 3c$

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

$8 - 2 = 3c$

$6 = 3c$

Отсюда находим c:

$c = \frac{6}{3} = 2$ см.

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $a = 1$ см, $b = 2$ см, $c = 2$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Формула для нахождения диагонали d:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим значения a, b и c в формулу:

$d^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2$

$d^2 = 1 + 4 + 4$

$d^2 = 9$

Чтобы найти длину диагонали d, извлечем квадратный корень из 9:

$d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

19. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его площадь поверхности увеличится на $30 \text{ см}^2$. Найдите ребро куба.

Дано:

Увеличение каждого ребра куба: $\Delta a = 1$ см.

Увеличение площади поверхности куба: $\Delta S = 30$ см².

(Все данные представлены в совместимых единицах, перевод в СИ не требуется).

Найти:

Первоначальную длину ребра куба $a$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба.

Пусть $a$ – первоначальная длина ребра куба. Тогда его площадь поверхности равна $S_1 = 6a^2$.

После увеличения каждого ребра на 1 см, новая длина ребра стала $(a + 1)$ см. Площадь поверхности нового куба равна $S_2 = 6(a+1)^2$.

Согласно условию задачи, разница между новой и старой площадями поверхности составляет 30 см². Запишем это в виде уравнения:

$S_2 - S_1 = 30$

Подставим формулы для площадей в это уравнение:

$6(a+1)^2 - 6a^2 = 30$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$(a+1)^2 - a^2 = 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + 2a \cdot 1 + 1^2) - a^2 = 5$

$a^2 + 2a + 1 - a^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2a + 1 = 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$2a = 5 - 1$

$2a = 4$

$a = \frac{4}{2}$

$a = 2$

Таким образом, первоначальная длина ребра куба равна 2 см.

Ответ: 2 см.

20. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см. Объем параллелепипеда равен $6 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

Дано:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Площадь поверхности $S$.

Решение:

Обозначим три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, как $a, b, c$. По условию, $a = 1 \text{ см}$ и $b = 2 \text{ см}$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$

Мы знаем объем $V = 6 \text{ см}^3$ и длины двух ребер. Можем найти длину третьего ребра $c$. Для удобства вычислений будем использовать значения в сантиметрах.

$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Подставим известные значения:

$c = \frac{6 \text{ см}^3}{1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см}} = \frac{6}{2} \text{ см} = 3 \text{ см}$

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $a = 1 \text{ см}$, $b = 2 \text{ см}$, $c = 3 \text{ см}$.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. У параллелепипеда три пары равных по площади граней, поэтому формула для площади поверхности имеет вид:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Подставим в формулу найденные значения длин ребер:

$S = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3)$

$S = 2 \cdot (2 + 6 + 3)$

$S = 2 \cdot 11$

$S = 22 \text{ см}^2$

Ответ: $22 \text{ см}^2$.

21. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 см и 4 см, и боковым ребром, равным 5 см.

Призма — прямая

Основание призмы — ромб

Диагональ ромба $d_1 = 3$ см

Диагональ ромба $d_2 = 4$ см

Боковое ребро призмы $h = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$d_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Площадь полной поверхности призмы — $S_{полн}$

Площадь полной поверхности призмы вычисляется как сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$). В основании призмы лежит ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

Подставляем значения длин диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Для прямой призмы она равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, следовательно, $h = 5$ см.

Для вычисления периметра ромба необходимо найти длину его стороны ($a$). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, в которых катетами являются половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенузой — сторона ромба ($a$). По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$

$a = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ см}$

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 2.5 = 10 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \text{ см}^2$

3. Найдем площадь полной поверхности призмы, подставив вычисленные значения в исходную формулу:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 6 + 50 = 12 + 50 = 62 \text{ см}^2$

Ответ: $62 \text{ см}^2$.

22. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $248 \text{ см}^2$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Дано:

Призма прямая.
Основание - ромб.
Диагонали ромба: $d_1 = 6$ см, $d_2 = 8$ см.
Площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 248$ см².

$d_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$d_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$S_{полн} = 248 \text{ см}^2 = 0.0248 \text{ м}^2$

Найти:

Боковое ребро призмы $h$.

Решение:

1. Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ – площадь основания.

2. В основании призмы лежит ромб. Его площадь можно найти через диагонали:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

3. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы, выразив её из формулы полной площади:
$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 248 \text{ см}^2 - 2 \cdot 24 \text{ см}^2 = 248 - 48 = 200 \text{ см}^2$.

4. Площадь боковой поверхности прямой призмы также равна произведению периметра основания на высоту (которая для прямой призмы равна боковому ребру):
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Чтобы найти $h$, нам нужен периметр основания $P_{осн}$.

5. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей (катеты) и стороной ромба (гипотенуза).
Катеты равны $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

6. Периметр ромба равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

7. Наконец, найдем боковое ребро (высоту) призмы $h$:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{200 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

23. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если стороны ее основания равны 3 см, а площадь поверхности равна $66 \text{ см}^2$.

Дано:

Призма — правильная четырехугольная
Сторона основания, $a = 3$ см
Площадь полной поверхности, $S_{полн} = 66$ см²

Перевод всех данных в систему СИ:
$a = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$
$S_{полн} = 66 \text{ см}^2 = 66 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,0066 \text{ м}^2$

Найти:

Боковое ребро, $h$

Решение:

Площадь полной поверхности правильной призмы вычисляется по формуле как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Так как призма правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь основания ($S_{осн}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = a^2$
Подставив значение стороны основания, получим:
$S_{осн} = 3^2 = 9$ см².

Боковая поверхность ($S_{бок}$) состоит из четырех равных прямоугольных граней. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Для правильной призмы высота равна боковому ребру.
$P_{осн} = 4a$
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$

Теперь объединим все в одну формулу для площади полной поверхности и подставим известные значения:
$S_{полн} = 2a^2 + 4ah$
$66 = 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \cdot h$
$66 = 2 \cdot 9 + 12h$
$66 = 18 + 12h$

Решим полученное линейное уравнение относительно $h$:
$12h = 66 - 18$
$12h = 48$
$h = \frac{48}{12}$
$h = 4$ см.

Ответ: боковое ребро правильной четырехугольной призмы равно 4 см.