Страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника ABC с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой, содержащей высоту CH этого треугольника.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$.

Катет $AC = 1$ см.

Катет $BC = 1$ см.

Ось вращения - прямая, содержащая высоту CH.

Перевод всех данных в систему СИ:

$AC = 0.01$ м.

$BC = 0.01$ м.

Найти:

$V$ - объем тела вращения.

$S$ - площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг высоты CH, проведенной из вершины прямого угла, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием. Для нахождения объема и площади поверхности этого тела, необходимо определить параметры конусов: радиус основания ($r$), высоту ($h$) и образующую ($l$).

Поскольку $AC = BC = 1$ см, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Высота CH, проведенная к гипотенузе, в равнобедренном треугольнике является также и медианой. Следовательно, точка H — середина гипотенузы AB.

Параметры конусов:

1. Образующая $l$ каждого конуса равна катету исходного треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.

2. Радиус общего основания конусов $r$ равен половине гипотенузы: $r = AH = BH = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота каждого конуса $h$ равна длине высоты CH. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна ее половине: $h = CH = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. $V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов (их общее основание находится внутри тела и не является частью внешней поверхности). Формула площади боковой поверхности одного конуса: $S_{бок} = \pi r l$. $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равно-стороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой CH, содержащей высоту этого треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$

Сторона треугольника $a = 1$ см

Ось вращения - прямая $CH$, содержащая высоту треугольника.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг оси, содержащей его высоту $CH$, образуется тело вращения, которое представляет собой конус. Определим параметры этого конуса.

Образующая конуса $l$ равна боковой стороне треугольника, то есть $l = a = 1$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен половине основания треугольника $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой. Следовательно, $r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота конуса $h$ равна высоте треугольника $CH$. Найдем ее по формуле для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим вычисленные значения $r = \frac{1}{2}$ см и $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S$ равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$).

Формула для полной площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

Подставим известные значения $r = \frac{1}{2}$ см и $l = 1$ см:

$S = \pi \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + 1\right) = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{2}\right) = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\pi}{4}$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{3\pi}{4}$ см$^2$.

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1\text{ см}$, $\angle C = 120^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$
Боковая сторона $AC = BC = 1$ см
Угол при вершине $\angle C = 120^\circ$
$CH$ — высота, ось вращения

Перевод в систему СИ:
$AC = BC = 0.01$ м

Найти:

$V$ — объем тела вращения
$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг своей высоты $CH$, является конусом. Образующая этого конуса $l$ равна боковой стороне треугольника, то есть $l = AC = 1$ см. Высота конуса $h$ равна высоте треугольника $CH$, а радиус основания конуса $r$ равен отрезку $AH$.

Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой, то она делит угол $\angle C$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$:
$\angle ACH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $AHC$, найдем высоту $h$ и радиус $r$ конуса:
$h = CH = AC \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$ см.
$r = AH = AC \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса ($r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, $h = 0.5$ см, $l = 1$ см), можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения
Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим наши значения:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$).
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi \frac{3}{4} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$S = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{8}$ см$^3$; площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$ см$^2$.

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $e$, проходящей через середины оснований $AB$ и $CD$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$

Боковые стороны $AD = BC = 1$ см

Основание $AB = 2$ см

Основание $CD = 1$ см

Ось вращения $c$ проходит через середины оснований $AB$ и $CD$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины её оснований, представляет собой усеченный конус.

Сначала определим параметры этого усеченного конуса:

Радиус большего основания $R$ равен половине длины основания $AB$:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см

Радиус меньшего основания $r$ равен половине длины основания $CD$:

$r = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Образующая усеченного конуса $l$ равна длине боковой стороны трапеции:

$l = 1$ см

Высота усеченного конуса $h$ равна высоте трапеции. Мы можем найти ее из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным полуразности оснований трапеции $\frac{AB-CD}{2}$. По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{AB-CD}{2}\right)^2 = l^2$

$h^2 + \left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = 1^2$

$h^2 + (0.5)^2 = 1$

$h^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

Теперь, имея все параметры, можем вычислить объем и площадь поверхности.

Объем

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим наши значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1^2 + 1 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot (1 + 0.5 + 0.25) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot 1.75$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной $1.75 = \frac{7}{4}$:

$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения (усеченного конуса) складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S = S_{бок} + S_{верхн.осн.} + S_{нижн.осн.}$

$S = \pi l(R+r) + \pi r^2 + \pi R^2$

Подставим наши значения:

$S = \pi \cdot 1 \cdot (1 + 0.5) + \pi \cdot (0.5)^2 + \pi \cdot 1^2$

$S = 1.5\pi + 0.25\pi + \pi = 2.75\pi$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной $2.75 = \frac{11}{4}$:

$S = \frac{11\pi}{4}$ см$^2$

Ответ: объем тела вращения равен $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см$^3$, а площадь его поверхности $S = \frac{11\pi}{4}$ см$^2$.

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AD$.

Дано:

Прямоугольная трапеция $ABCD$

Основание $AB = 2 \text{ см}$

Основание $CD = 1 \text{ см}$

Меньшая боковая сторона, являющаяся высотой трапеции, $AD = 1 \text{ см}$

Ось вращения — прямая $AD$

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.02 \text{ м}$

$CD = 0.01 \text{ м}$

$AD = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг ее меньшей боковой стороны $AD$, которая перпендикулярна основаниям, образуется усеченный конус.

Параметры этого усеченного конуса:

– Радиус большего основания $R$ равен длине большего основания трапеции $AB$: $R = 0.02 \text{ м}$.

– Радиус меньшего основания $r$ равен длине меньшего основания трапеции $CD$: $r = 0.01 \text{ м}$.

– Высота конуса $H$ равна длине стороны вращения $AD$: $H = 0.01 \text{ м}$.

Для нахождения площади поверхности нам потребуется образующая усеченного конуса $L$, которая равна длине большей боковой стороны трапеции $BC$. Найдем $BC$ по теореме Пифагора. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Получим прямоугольный треугольник $CHB$, в котором катет $CH$ равен высоте трапеции $AD$, а катет $HB$ равен разности оснований $AB$ и $CD$.

$CH = AD = 0.01 \text{ м}$

$HB = AB - CD = 0.02 - 0.01 = 0.01 \text{ м}$

Образующая $L$ равна гипотенузе $BC$:

$L = BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{(0.01)^2 + (0.01)^2} = \sqrt{0.0001 + 0.0001} = \sqrt{2 \cdot 0.0001} = 0.01\sqrt{2} \text{ м}$.

Объем тела вращения

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим известные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 0.01 \cdot ((0.02)^2 + 0.02 \cdot 0.01 + (0.01)^2) = \frac{0.01\pi}{3} (0.0004 + 0.0002 + 0.0001) = \frac{0.01\pi}{3} \cdot 0.0007 = \frac{0.000007\pi}{3} \text{ м}^3$

Для удобства можно записать ответ в сантиметрах кубических. Исходные данные: $R=2$ см, $r=1$ см, $H=1$ см.

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{\pi}{3} (4 + 2 + 1) = \frac{7\pi}{3} \text{ см}^3$

Ответ: $V = \frac{7\pi}{3} \text{ см}^3$ (или $\frac{7\pi}{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$).

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований (верхнего $S_{верх}$ и нижнего $S_{нижн}$).

$S = S_{бок} + S_{верх} + S_{нижн}$

$S_{бок} = \pi L (R + r)$

$S_{верх} = \pi r^2$

$S_{нижн} = \pi R^2$

Вычислим каждую часть, используя данные в сантиметрах для простоты записи: $R=2$ см, $r=1$ см, $L=\sqrt{2}$ см.

$S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (2 + 1) = 3\pi\sqrt{2} \text{ см}^2$

$S_{верх} = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$

$S_{нижн} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Теперь сложим все части:

$S = 3\pi\sqrt{2} + \pi + 4\pi = 5\pi + 3\pi\sqrt{2} = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Переведем в СИ: $1 \text{ см}^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$.

$S = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Ответ: $S = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \text{ см}^2$ (или $\pi(5 + 3\sqrt{2}) \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$).

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см вокруг прямой $AB$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 1$ см

Катет $BC = 1$ см

Треугольник вращается вокруг гипотенузы $AB$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

1. При вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг гипотенузы $AB$ образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.

2. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AB = \sqrt{2}$ см.

3. Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте $CH$, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Образующие конусов $l$ равны катетам треугольника, то есть $l = AC = BC = 1$ см.

4. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r$.

Приравняем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r = \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

5. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), высота $CH$ является также и медианой, то есть делит гипотенузу $AB$ пополам. Следовательно, высоты обоих конусов равны:

$h_1 = h_2 = AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

6. Найдем объем тела вращения.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Так как конусы одинаковы, то:

$V = V_1 + V_2 = 2 \cdot V_1 = 2 \cdot (\frac{1}{3} \pi r^2 h)$, где $h = h_1 = h_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

$V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

7. Найдем площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит).

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = 2 \cdot S_{бок1} = 2 \cdot (\pi r l)$.

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$, а площадь его поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой AB.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Сторона треугольника $a = AB = BC = AC = 1 \text{ см}$.

Ось вращения: прямая $AB$.

Найти:

$V$ — объем тела вращения.

$S$ — площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело, полученное при вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг стороны $AB$, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных своими основаниями. Вершины конусов находятся в точках $A$ и $B$, а их общее основание — это окружность, которую описывает вершина $C$ при вращении.

Для вычислений найдем основные параметры этих конусов. Сторона треугольника $a = 1 \text{ см}$.

Образующая конуса $l$ равна стороне треугольника: $l = a = 1 \text{ см}$.

Высота каждого конуса $h_{кон}$ равна половине стороны $AB$, так как высота $CH$ в равностороннем треугольнике является и медианой: $h_{кон} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \text{ см}$.

Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте $CH$ треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACH$: $r = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - h_{кон}^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух идентичных конусов. Формула объема одного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{кон}$.

Таким образом, полный объем тела равен:

$V = 2 \cdot V_{кон} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h_{кон} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2}$

$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4} \text{ см}^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4} \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (их общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается). Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

Таким образом, полная площадь поверхности тела равна:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$ см, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $AB$.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный

$AC = BC = 1$ см

$\angle C = 120^\circ$

Ось вращения – прямая $AB$

Перевод в СИ:

$AC = BC = 0.01$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг его основания $AB$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $B$.

Для нахождения объема и площади поверхности этого тела необходимо определить параметры конусов: радиус общего основания $r$, высоту $h$ каждого конуса и образующую $l$.

Образующая $l$ каждого конуса равна боковой стороне треугольника: $l = AC = BC = 1$ см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Радиус $r$ общего основания конусов равен длине высоты $CH$, а высота $h$ каждого конуса равна половине длины основания $AB$, то есть $h = AH = BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $CH$ является биссектрисой угла $C$, то $\angle ACH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь можем найти $r$ и $h$ из треугольника $AHC$ с гипотенузой $AC = 1$ см:

Радиус основания конусов:

$r = CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Высота каждого конуса:

$h = AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь вычислим объем $V$ тела вращения. Он равен сумме объемов двух конусов.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$

$V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и не учитывается).

$S = 2 \cdot S_{бок. конуса} = 2 \cdot (\pi r l)$

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см².

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см³, площадь поверхности равна $\pi$ см².

10. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AB.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 3$ см

Катет $BC = 4$ см

$\angle C = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$AC = 0.03$ м

$BC = 0.04$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиусом этого основания является высота $h_c$, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Образующими конусов являются катеты треугольника $AC$ и $BC$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем высоту $h_c$, проведенную к гипотенузе. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c$.

Приравняв два выражения для площади, получим:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = 6$

$h_c = \frac{2 \cdot 6}{AB} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Эта высота является радиусом $R$ общего основания двух конусов: $R = h_c = 2.4$ см.

3. Найдем объем тела вращения. Объем тела равен сумме объемов двух конусов.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$,

где $h_1$ и $h_2$ - высоты конусов, которые в сумме дают гипотенузу $AB$. То есть, $h_1 + h_2 = AB$.

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AB = \frac{1}{3}\pi (2.4)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5.76 \cdot 5 = \frac{28.8\pi}{3} = 9.6\pi$ см$^3$.

4. Найдем площадь поверхности тела вращения. Площадь поверхности равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит).

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$,

где $l_1 = AC = 3$ см и $l_2 = BC = 4$ см - образующие конусов.

$S = \pi \cdot 2.4 \cdot (3 + 4) = \pi \cdot 2.4 \cdot 7 = 16.8\pi$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения $V = 9.6\pi$ см$^3$, площадь поверхности $S = 16.8\pi$ см$^2$.

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AC.

Дано:

Ромб ABCD

Сторона ромба, $a = 1$ см

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$

Ось вращения - прямая AC

Найти:

$V$ - объем тела вращения

$S$ - площадь поверхности тела вращения

Решение:

При вращении ромба ABCD вокруг его диагонали AC образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Образующей $l$ каждого конуса является сторона ромба, радиусом основания $r$ — половина второй диагонали BD, а высотой $h$ каждого конуса является половина диагонали AC.

Сначала найдем параметры конусов: радиус основания $r$, высоту $h$ и образующую $l$.

Образующая конуса равна стороне ромба: $l = a = 1$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как $AB = AD = 1$ см и угол между ними $\angle BAD = 60^\circ$, то треугольник ABD является равносторонним. Следовательно, диагональ $BD = 1$ см.

Диагонали ромба в точке пересечения O делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Радиус основания конусов $r$ равен половине диагонали BD:

$r = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Высоту конуса $h = AO$ найдем из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора:

$h = AO = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$V = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух одинаковых конусов. Основания конусов находятся внутри тела и не учитываются при расчете площади поверхности. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$ см$^2$.

Ответ: $\pi$ см$^2$.

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой BD.

Дано:

Ромб $ABCD$

Сторона ромба, $a = 1$ см

Острый угол, $\angle A = 60^\circ$

Ось вращения — прямая $BD$

Найти:

$V$ — объем тела вращения

$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное при вращении ромба $ABCD$ вокруг его диагонали $BD$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершины конусов находятся в точках $B$ и $D$. Образующая $l$ каждого конуса равна стороне ромба, то есть $l = a = 1$ см.

Радиус $r$ общего основания конусов равен половине диагонали $AC$. Высота каждого конуса $h$ равна половине длины диагонали $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как $AB = AD = 1$ см и угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$, то данный треугольник является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $BD$ также равна 1 см.

Поскольку диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, высота каждого из двух конусов равна:

$h = \frac{BD}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Радиус основания конусов $r$ равен высоте $AO$ в равностороннем треугольнике $\triangle ABD$, проведенной к стороне $BD$.

$r = AO = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности полученного тела.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$

Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и не входит в площадь поверхности).

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi r l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $AB$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Боковые стороны: $AD = BC = 1$ см.

Основания: $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AB$.

(Все величины даны в сантиметрах, перевод в СИ не требуется)

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении равнобедренной трапеции $ABCD$ вокруг большего основания $AB$, состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам. Цилиндр образуется вращением прямоугольника, а конусы — вращением прямоугольных треугольников, на которые можно разбить трапецию.

Опустим из вершин $C$ и $D$ перпендикуляры $CF$ и $DE$ на основание $AB$. Получим прямоугольник $EFCD$ и два равных прямоугольных треугольника $\triangle AED$ и $\triangle BFC$.

Высота трапеции $h = DE = CF$ будет радиусом $r$ основания цилиндра и конусов. Найдем ее.

Длина отрезка $AE$ равна полуразности оснований: $AE = \frac{AB - CD}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см. Этот отрезок является высотой $H_{кон}$ для образующихся конусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AED$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AE^2 + DE^2$

$h^2 = DE^2 = AD^2 - AE^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Таким образом, радиус оснований цилиндра и конусов $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$. Высота цилиндра равна длине меньшего основания трапеции: $H_{цил} = EF = CD = 1$ см.

$V_{цил} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$. Высота конуса равна $H_{кон} = AE = 0.5$ см.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Теперь найдем общий объем:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон} = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности тела вращения $S$ состоит из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $S_{бок.кон}$.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2\pi r H_{цил}$, где $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $H_{цил} = 1$ см.

$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r l$, где $l$ - образующая конуса. Образующая равна боковой стороне трапеции $l = AD = 1$ см.

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем общую площадь поверхности:

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон} = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $\mathit{ABCD}$ с основаниями $\mathit{AB}$ и $\mathit{CD}$, равными соответственно $2\text{ см}$ и $1\text{ см}$, меньшей боковой стороной, равной $1\text{ см}$, вокруг прямой $\mathit{AB}$.

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD

Большее основание AB = 2 см

Меньшее основание CD = 1 см

Меньшая боковая сторона (высота) = 1 см

Ось вращения - прямая AB

Перевод в СИ:

AB = 0.02 м

CD = 0.01 м

Высота = 0.01 м

Найти:

V - объем тела вращения

S - площадь поверхности тела вращения

Решение:

Пусть в прямоугольной трапеции ABCD основаниями являются AB и CD, а меньшая боковая сторона AD является высотой. Тогда $AD \perp AB$.

При вращении данной трапеции вокруг большего основания AB образуется тело вращения, которое состоит из цилиндра и конуса, имеющих общее основание.

Для определения параметров этих фигур проведем высоту CH из точки C на основание AB. Получим прямоугольник ADCH и прямоугольный треугольник CHB.

1. Вращением прямоугольника ADCH вокруг стороны AH (которая лежит на оси вращения AB) образуется цилиндр.

2. Вращением прямоугольного треугольника CHB вокруг катета HB (который лежит на оси вращения AB) образуется конус.

Найдем размеры этих геометрических тел:

Высота трапеции равна меньшей боковой стороне, значит, $AD = CH = 1$ см.

Радиус основания цилиндра и конуса $R = AD = CH = 1$ см.

Высота цилиндра $h_{цил} = AH = CD = 1$ см.

Высота конуса $h_{кон} = HB = AB - AH = 2 - 1 = 1$ см.

Для нахождения площади поверхности конуса нам понадобится его образующая $l = CB$. Найдем ее по теореме Пифагора из треугольника CHB:

$l = CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

1. Вычисление объема тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объема конуса $V_{кон}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 h_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$ см³.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi R^2 h_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Суммарный объем тела вращения:

$V = V_{цил} + V_{кон} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см³.

2. Вычисление площади поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности тела вращения $S$ складывается из площади основания цилиндра (образуется вращением стороны AD), площади боковой поверхности цилиндра (образуется вращением стороны CD) и площади боковой поверхности конуса (образуется вращением стороны CB).

$S = S_{осн.цил} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон}$

Площадь основания цилиндра (круга): $S_{осн.цил} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.цил} = 2\pi R h_{цил} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок.кон} = \pi R l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности:

$S = \pi + 2\pi + \pi\sqrt{2} = 3\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(3 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{4\pi}{3}$ см³, площадь поверхности равна $\pi(3 + \sqrt{2})$ см².