Номер 7, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AC = BC = 1$ см вокруг прямой $AB$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 1$ см

Катет $BC = 1$ см

Треугольник вращается вокруг гипотенузы $AB$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

1. При вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг гипотенузы $AB$ образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.

2. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AB = \sqrt{2}$ см.

3. Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте $CH$, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Образующие конусов $l$ равны катетам треугольника, то есть $l = AC = BC = 1$ см.

4. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r$.

Приравняем оба выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot r = \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

5. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), высота $CH$ является также и медианой, то есть делит гипотенузу $AB$ пополам. Следовательно, высоты обоих конусов равны:

$h_1 = h_2 = AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

6. Найдем объем тела вращения.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Так как конусы одинаковы, то:

$V = V_1 + V_2 = 2 \cdot V_1 = 2 \cdot (\frac{1}{3} \pi r^2 h)$, где $h = h_1 = h_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

$V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$.

7. Найдем площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и в площадь поверхности не входит).

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = 2 \cdot S_{бок1} = 2 \cdot (\pi r l)$.

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$ см$^3$, а площадь его поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.