Номер 4, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1\text{ см}$, $\angle C = 120^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$
Боковая сторона $AC = BC = 1$ см
Угол при вершине $\angle C = 120^\circ$
$CH$ — высота, ось вращения

Перевод в систему СИ:
$AC = BC = 0.01$ м

Найти:

$V$ — объем тела вращения
$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное в результате вращения равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг своей высоты $CH$, является конусом. Образующая этого конуса $l$ равна боковой стороне треугольника, то есть $l = AC = 1$ см. Высота конуса $h$ равна высоте треугольника $CH$, а радиус основания конуса $r$ равен отрезку $AH$.

Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой, то она делит угол $\angle C$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$:
$\angle ACH = \frac{\angle C}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $AHC$, найдем высоту $h$ и радиус $r$ конуса:
$h = CH = AC \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$ см.
$r = AH = AC \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса ($r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, $h = 0.5$ см, $l = 1$ см), можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения
Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим наши значения:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$).
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi \frac{3}{4} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$S = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{8}$ см$^3$; площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(3 + 2\sqrt{3})}{4}$ см$^2$.