Номер 6, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AD$.

Дано:

Прямоугольная трапеция $ABCD$

Основание $AB = 2 \text{ см}$

Основание $CD = 1 \text{ см}$

Меньшая боковая сторона, являющаяся высотой трапеции, $AD = 1 \text{ см}$

Ось вращения — прямая $AD$

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.02 \text{ м}$

$CD = 0.01 \text{ м}$

$AD = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг ее меньшей боковой стороны $AD$, которая перпендикулярна основаниям, образуется усеченный конус.

Параметры этого усеченного конуса:

– Радиус большего основания $R$ равен длине большего основания трапеции $AB$: $R = 0.02 \text{ м}$.

– Радиус меньшего основания $r$ равен длине меньшего основания трапеции $CD$: $r = 0.01 \text{ м}$.

– Высота конуса $H$ равна длине стороны вращения $AD$: $H = 0.01 \text{ м}$.

Для нахождения площади поверхности нам потребуется образующая усеченного конуса $L$, которая равна длине большей боковой стороны трапеции $BC$. Найдем $BC$ по теореме Пифагора. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Получим прямоугольный треугольник $CHB$, в котором катет $CH$ равен высоте трапеции $AD$, а катет $HB$ равен разности оснований $AB$ и $CD$.

$CH = AD = 0.01 \text{ м}$

$HB = AB - CD = 0.02 - 0.01 = 0.01 \text{ м}$

Образующая $L$ равна гипотенузе $BC$:

$L = BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{(0.01)^2 + (0.01)^2} = \sqrt{0.0001 + 0.0001} = \sqrt{2 \cdot 0.0001} = 0.01\sqrt{2} \text{ м}$.

Объем тела вращения

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим известные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 0.01 \cdot ((0.02)^2 + 0.02 \cdot 0.01 + (0.01)^2) = \frac{0.01\pi}{3} (0.0004 + 0.0002 + 0.0001) = \frac{0.01\pi}{3} \cdot 0.0007 = \frac{0.000007\pi}{3} \text{ м}^3$

Для удобства можно записать ответ в сантиметрах кубических. Исходные данные: $R=2$ см, $r=1$ см, $H=1$ см.

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{\pi}{3} (4 + 2 + 1) = \frac{7\pi}{3} \text{ см}^3$

Ответ: $V = \frac{7\pi}{3} \text{ см}^3$ (или $\frac{7\pi}{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$).

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований (верхнего $S_{верх}$ и нижнего $S_{нижн}$).

$S = S_{бок} + S_{верх} + S_{нижн}$

$S_{бок} = \pi L (R + r)$

$S_{верх} = \pi r^2$

$S_{нижн} = \pi R^2$

Вычислим каждую часть, используя данные в сантиметрах для простоты записи: $R=2$ см, $r=1$ см, $L=\sqrt{2}$ см.

$S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (2 + 1) = 3\pi\sqrt{2} \text{ см}^2$

$S_{верх} = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$

$S_{нижн} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Теперь сложим все части:

$S = 3\pi\sqrt{2} + \pi + 4\pi = 5\pi + 3\pi\sqrt{2} = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Переведем в СИ: $1 \text{ см}^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$.

$S = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Ответ: $S = \pi(5 + 3\sqrt{2}) \text{ см}^2$ (или $\pi(5 + 3\sqrt{2}) \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$).