Номер 12, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой BD.

Дано:

Ромб $ABCD$

Сторона ромба, $a = 1$ см

Острый угол, $\angle A = 60^\circ$

Ось вращения — прямая $BD$

Найти:

$V$ — объем тела вращения

$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное при вращении ромба $ABCD$ вокруг его диагонали $BD$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершины конусов находятся в точках $B$ и $D$. Образующая $l$ каждого конуса равна стороне ромба, то есть $l = a = 1$ см.

Радиус $r$ общего основания конусов равен половине диагонали $AC$. Высота каждого конуса $h$ равна половине длины диагонали $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как $AB = AD = 1$ см и угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$, то данный треугольник является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $BD$ также равна 1 см.

Поскольку диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, высота каждого из двух конусов равна:

$h = \frac{BD}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Радиус основания конусов $r$ равен высоте $AO$ в равностороннем треугольнике $\triangle ABD$, проведенной к стороне $BD$.

$r = AO = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности полученного тела.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов.

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$

Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (общее основание находится внутри тела и не входит в площадь поверхности).

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi r l)$

Подставим найденные значения $r$ и $l$:

$S = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\sqrt{3}\pi$ см$^2$.