Номер 13, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $AB$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Боковые стороны: $AD = BC = 1$ см.

Основания: $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AB$.

(Все величины даны в сантиметрах, перевод в СИ не требуется)

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении равнобедренной трапеции $ABCD$ вокруг большего основания $AB$, состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам. Цилиндр образуется вращением прямоугольника, а конусы — вращением прямоугольных треугольников, на которые можно разбить трапецию.

Опустим из вершин $C$ и $D$ перпендикуляры $CF$ и $DE$ на основание $AB$. Получим прямоугольник $EFCD$ и два равных прямоугольных треугольника $\triangle AED$ и $\triangle BFC$.

Высота трапеции $h = DE = CF$ будет радиусом $r$ основания цилиндра и конусов. Найдем ее.

Длина отрезка $AE$ равна полуразности оснований: $AE = \frac{AB - CD}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см. Этот отрезок является высотой $H_{кон}$ для образующихся конусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AED$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AE^2 + DE^2$

$h^2 = DE^2 = AD^2 - AE^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Таким образом, радиус оснований цилиндра и конусов $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$. Высота цилиндра равна длине меньшего основания трапеции: $H_{цил} = EF = CD = 1$ см.

$V_{цил} = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$. Высота конуса равна $H_{кон} = AE = 0.5$ см.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Теперь найдем общий объем:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон} = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности тела вращения $S$ состоит из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $S_{бок.кон}$.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2\pi r H_{цил}$, где $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $H_{цил} = 1$ см.

$S_{бок.цил} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r l$, где $l$ - образующая конуса. Образующая равна боковой стороне трапеции $l = AD = 1$ см.

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем общую площадь поверхности:

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон} = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².