Номер 18, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $CD$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Основания: $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Боковые стороны: $AD = BC = 1$ см.

Ось вращения: прямая $CD$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

1. Найдем высоту трапеции $h$.

Проведем из вершин $D$ и $C$ перпендикуляры $DH$ и $CK$ к основанию $AB$. Получим прямоугольник $DHKC$, поэтому $HK = DC = 1$ см.

Так как трапеция равнобедренная, треугольники $AHD$ и $BKC$ равны. Следовательно, $AH = KB$.

Длина отрезка $AH$ равна: $AH = \frac{AB - HK}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$h^2 = DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Тело вращения, полученное при вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $CD$, можно представить как объем цилиндра, из которого по краям вырезаны два одинаковых конуса.

Для этого достроим трапецию до прямоугольника $A'B'BA$, опустив перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ из точек $A$ и $B$ на прямую $CD$.

Объем тела вращения будет равен объему цилиндра, образованного вращением прямоугольника $A'B'BA$, минус объемы двух конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников $A'DA$ и $B'CB$.

Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте трапеции: $R = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Найдем высоту цилиндра $H_{cyl}$. Она равна длине отрезка $A'B'$.

Из прямоугольного треугольника $A'DA$ найдем катет $A'D$:

$A'D = \sqrt{AD^2 - (AA')^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $B'C = A'D = 0.5$ см.

Тогда высота цилиндра: $H_{cyl} = A'B' = A'D + DC + CB' = 0.5 + 1 + 0.5 = 2$ см.

Объем цилиндра: $V_{cyl} = \pi R^2 H_{cyl} = \pi (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3\pi}{2}$ см³.

Высота каждого из вырезанных конусов $h_{cone} = A'D = 0.5$ см.

Объем одного конуса: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{cone} = \frac{1}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Объем тела вращения:

$V = V_{cyl} - 2 \cdot V_{cone} = \frac{3\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi - \pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения состоит из суммы площадей поверхностей, образованных вращением сторон $AB$, $AD$ и $BC$ (сторона $CD$ лежит на оси вращения и не образует поверхности).

1. Поверхность, образованная вращением основания $AB$. Это боковая поверхность цилиндра, у которого радиус $R$ равен высоте трапеции $h$, а высота $H$ равна длине стороны $AB$.

$S_{AB} = 2\pi R \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 2\pi\sqrt{3}$ см².

2. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $AD$. Это боковая поверхность конуса, у которого радиус основания $R$ равен высоте трапеции $h$, а образующая $l$ равна длине стороны $AD$.

$S_{AD} = \pi R l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $BC$, идентична поверхности от вращения $AD$.

$S_{BC} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:

$S = S_{AB} + S_{AD} + S_{BC} = 2\pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $3\pi\sqrt{3}$ см².