Номер 23, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $AD$.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона $a = 1$ см

Ось вращения - прямая $AD$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$ можно представить состоящим из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Большая диагональ $AD$ является осью симметрии шестиугольника и проходит через его центр.

При вращении шестиугольника вокруг прямой $AD$ образуется тело вращения, которое состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к его основаниям.

Определим размеры этих геометрических тел, исходя из того, что сторона шестиугольника $a = 1$ см.

• Цилиндр образуется при вращении прямоугольника, образованного вершинами $B$, $C$ и их проекциями на ось $AD$.

  • Радиус цилиндра $r$ равен расстоянию от вершины $B$ (или $C$) до оси вращения $AD$. Это расстояние равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a$, т.е. $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
    При $a=1$ см, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

  • Высота цилиндра $H_{цил}$ равна длине стороны $BC$ шестиугольника, так как $BC$ параллельна оси вращения $AD$.
    $H_{цил} = a = 1$ см.

• Конусы (два одинаковых) образуются при вращении прямоугольных треугольников, катетами которых являются отрезки $AH_B$ и $H_BB$ (для первого конуса) и $DH_C$ и $H_CC$ (для второго), где $H_B$ и $H_C$ — проекции точек $B$ и $C$ на ось $AD$.

  • Радиус основания конуса $R_{кон}$ равен радиусу цилиндра.
    $R_{кон} = r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

  • Высота конуса $H_{кон}$ равна половине разности длин большой диагонали $AD=2a$ и высоты цилиндра $H_{цил}=a$.
    $H_{кон} = \frac{AD - H_{цил}}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.
    При $a=1$ см, $H_{кон} = \frac{1}{2}$ см.

  • Образующая конуса $l$ равна стороне шестиугольника $AB$ (или $CD$).
    $l = a = 1$ см.

1. Найдем объем тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Объем одного конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R_{кон}^2 H_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Тогда общий объем тела вращения:

$V = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см$^3$.

2. Найдем площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2 \cdot S_{бок.кон}$. Основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в общую площадь поверхности не входят.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.цил} = 2 \pi r H_{цил}$.

$S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{бок.кон} = \pi R_{кон} l$.

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Тогда общая площадь поверхности тела вращения:

$S = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.