Номер 5, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры ее оснований.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:
$a = 0,01$ м.

Найти:

Объем тела вращения, $V$ — ?
Площадь поверхности тела вращения, $S$ — ?

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, представляет собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $H$ равна высоте призмы. Согласно условию, все ребра призмы равны 1 см, следовательно, высота призмы (которая равна длине бокового ребра) составляет $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен максимальному расстоянию от оси вращения до точек на поверхности призмы. Ось вращения проходит через центры оснований, которые являются правильными шестиугольниками. Самыми удаленными точками от центра шестиугольника являются его вершины. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны.

Так как сторона основания призмы по условию равна 1 см, то и радиус цилиндра $R$ также будет равен 1 см.

Таким образом, мы получили цилиндр с высотой $H = 1$ см и радиусом основания $R = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра находится по формуле:
$V = \pi R^2 H$
Подставим известные значения $R = 1$ см и $H = 1$ см:
$V = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \text{ см}^3$

Ответ: $V = \pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площадей двух его оснований (кругов) и площади боковой поверхности.
$S = S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$
Формула для вычисления:
$S = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R+H)$
Подставим известные значения $R = 1$ см и $H = 1$ см:
$S = 2\pi \cdot 1 \text{ см} \cdot (1 \text{ см} + 1 \text{ см}) = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 \text{ см}^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Ответ: $S = 4\pi$ см$^2$.