Номер 10, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AA_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг ее бокового ребра $AA_1$. Поскольку все ребра призмы равны 1 см, то сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 1$ см, и высота призмы $h = AA_1 = 1$ см.

Чтобы определить форму и размеры получившегося тела вращения, найдем максимальное расстояние от точек призмы до оси вращения $AA_1$. Это расстояние будет радиусом $R$ тела вращения. Высота тела вращения будет равна высоте призмы $h$.

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Ось вращения проходит через вершину $A$. Максимальное удаление от оси будет для точки шестиугольника, наиболее удаленной от вершины $A$. В правильном шестиугольнике это противоположная вершина $D$.

Расстояние $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$R = AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Поскольку призма является сплошным телом, а ее основание - связной фигурой, при вращении вокруг ребра $AA_1$ она заполнит все пространство внутри цилиндра с радиусом $R=2$ см и высотой $h=1$ см. Таким образом, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставим значения радиуса $R=2$ см и высоты $h=1$ см:

$V = \pi \cdot (2)^2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $4\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

$S = S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (круга):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2 \cdot (4\pi) + 4\pi = 8\pi + 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $12\pi$ см$^2$.