Номер 4, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$ см.
Ось вращения $c$ проходит через центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Поскольку призма является правильной, ее основаниями служат равносторонние треугольники ($ABC$ и $A_1B_1C_1$), а боковые грани являются прямоугольниками. Так как все ребра равны 1 см, то сторона основания $a=1$ см, а высота призмы $h=1$ см.

Ось вращения проходит через центры оснований. При вращении призмы вокруг этой оси образуется тело вращения. Каждое поперечное сечение призмы, перпендикулярное оси вращения, представляет собой равносторонний треугольник. При вращении такого треугольника вокруг его центра он заметает круг, радиус которого равен радиусу описанной окружности этого треугольника.

Следовательно, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр. Высота этого цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы $h$, то есть $H=1$ см. Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольного основания призмы.

Найдем радиус $R$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставляя $a=1$ см, получаем: $R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Объем тела вращения

Объем получившегося цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$: $V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{9} \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Полная площадь поверхности получившегося цилиндра $S$ складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь каждого основания (круга) равна: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{\pi}{3}$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$: $S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см².

Теперь найдем полную площадь поверхности: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi + 2\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi(1+\sqrt{3})}{3}$ см².

Ответ: объем тела вращения $V = \frac{\pi}{3}$ см³, площадь поверхности $S = \frac{2\pi(1+\sqrt{3})}{3}$ см².