Страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$ см, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AC.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$

$AC = BC = 1$ см

$\angle C = 120^{\circ}$

Ось вращения - прямая $AC$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей сторону $AC$, образуется тело вращения. Так как угол $\angle C = 120^{\circ}$ является тупым, то высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, попадет на продолжение стороны $AC$ за точку $C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$, где $H$ - основание высоты. Угол $\angle BCH$ смежен с углом $\angle BCA$, поэтому $\angle BCH = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Гипотенуза $BC = 1$ см.

Найдем катеты треугольника $BHC$: Высота $BH$ является радиусом $R$ общего основания для конусов, образующих тело вращения: $R = BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Катет $CH$ является высотой $h_1$ меньшего конуса: $h_1 = CH = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 1 \cdot \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ см.

Тело вращения можно представить как фигуру, полученную вращением треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$, из которой "вырезан" конус, полученный вращением треугольника $CBH$ вокруг катета $CH$. Следовательно, объем тела вращения равен разности объемов этих двух конусов, а площадь поверхности - сумме площадей их боковых поверхностей.

Объем тела вращения

Высота большего конуса, образованного вращением $\triangle ABH$, равна $h_2 = AH = AC + CH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см. Объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего и меньшего конусов: $V = V_{ABH} - V_{CBH} = \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_2 - h_1)$.

Так как $h_2 - h_1 = AH - CH = AC = 1$ см, то: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей конусов, образованных вращением сторон $BC$ и $AB$ вокруг оси $AC$. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2$, где $l_1$ и $l_2$ - длины образующих.

Образующая первого конуса (от вращения $BC$) равна $l_1 = BC = 1$ см. Образующую второго конуса (от вращения $AB$) $l_2 = AB$ найдем по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^{\circ}) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 + 1 = 3$. Следовательно, $l_2 = AB = \sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим общую площадь поверхности: $S = \pi \cdot R \cdot (l_1 + l_2) = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) = \frac{\pi\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}\pi + 3\pi}{2} = \frac{(3 + \sqrt{3})\pi}{2}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{(3 + \sqrt{3})\pi}{2}$ см$^2$.

16. В прямоугольном треугольнике ABC $AC = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой $CH$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$

Катет $AC = 3$ см

Катет $BC = 4$ см

$\angle C = 90^\circ$

$CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$

Ось вращения — прямая $CH$

Перевод в систему СИ:

$AC = 0.03$ м

$BC = 0.04$ м

Найти:

$V$ — объем тела вращения

$S$ — площадь поверхности тела вращения

Решение:

Тело, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг высоты $CH$, состоит из двух конусов с общей вершиной $C$. Высота обоих конусов совпадает с высотой треугольника $CH$. Основания конусов — это круги, которые описывают точки $A$ и $B$ при вращении.

Радиусом основания первого конуса (образованного вращением $\triangle AHC$) является отрезок $AH$, а образующей — катет $AC$.

Радиусом основания второго конуса (образованного вращением $\triangle BHC$) является отрезок $BH$, а образующей — катет $BC$.

Объем тела вращения равен сумме объемов этих двух конусов, а площадь поверхности — сумме площадей их боковых поверхностей.

1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора в $\triangle ABC$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем высоту $CH$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$, а также как $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Приравняем эти выражения:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH$

$12 = 5 \cdot CH$

$CH = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Таким образом, высота обоих конусов $h = CH = 2.4$ см.

3. Найдем радиусы оснований конусов $r_1=AH$ и $r_2=BH$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора:

$r_1 = AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{3^2 - (2.4)^2} = \sqrt{9 - 5.76} = \sqrt{3.24} = 1.8$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$ по теореме Пифагора:

$r_2 = BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{4^2 - (2.4)^2} = \sqrt{16 - 5.76} = \sqrt{10.24} = 3.2$ см.

Образующими конусов являются катеты исходного треугольника: $l_1 = AC = 3$ см и $l_2 = BC = 4$ см.

4. Вычисляем объем тела вращения $V$ как сумму объемов конусов. Формула объема конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h + \frac{1}{3}\pi r_2^2 h = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2)$

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 2.4 \cdot (1.8^2 + 3.2^2) = 0.8\pi \cdot (3.24 + 10.24) = 0.8\pi \cdot 13.48 = 10.784\pi$ см$^3$.

5. Вычисляем площадь поверхности тела вращения $S$ как сумму площадей боковых поверхностей конусов. Формула площади боковой поверхности конуса $S_{бок} = \pi r l$.

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r_1 l_1 + \pi r_2 l_2$

$S = \pi \cdot 1.8 \cdot 3 + \pi \cdot 3.2 \cdot 4 = 5.4\pi + 12.8\pi = 18.2\pi$ см$^2$.

Ответ: объем тела вращения равен $10.784\pi$ см$^3$, а площадь его поверхности равна $18.2\pi$ см$^2$.

этого треугольника вокруг прямой BH.

17. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^\circ$, вокруг прямой AB.

Дано:

Ромб ABCD

Сторона ромба, $a = 1 \text{ см}$

Острый угол ромба, $\alpha = 60^\circ$

Ось вращения - прямая AB

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Для удобства проведем все расчеты в сантиметрах, а в конце представим результат в системе СИ.

Поскольку острый угол ромба $\angle DAB = 60^\circ$ и прилежащие стороны $AD=AB=1$ см, то треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним. Высота ромба $h$, опущенная из вершины D на сторону AB, равна высоте этого равностороннего треугольника.

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Эта высота является постоянным расстоянием от стороны DC до оси вращения AB, а также максимальным расстоянием от точек на сторонах AD и BC до оси вращения.

Нахождение объема тела вращения

Для вычисления объема воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: $V = 2\pi \cdot \bar{y} \cdot A$, где $A$ - площадь вращаемой фигуры (ромба), а $\bar{y}$ - расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

1. Площадь ромба $A$:

$A = a^2 \sin(\alpha) = 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Расстояние от центроида до оси вращения $\bar{y}$:

Центроид ромба находится в точке пересечения его диагоналей. Эта точка делит высоту ромба пополам. Следовательно, расстояние от центроида до стороны AB равно половине высоты ромба.

$\bar{y} = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$.

3. Объем $V$:

$V = 2\pi \cdot \bar{y} \cdot A = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\pi \cdot \frac{3}{8} = \frac{3\pi}{4} \text{ см}^3$.

Нахождение площади поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из трех частей, образованных вращением сторон AD, DC и BC. Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь поверхности не дает.

1. Вращение стороны AD образует боковую поверхность конуса. Образующая конуса $l=a=1$ см, радиус основания $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

$S_{AD} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \text{ см}^2$.

2. Вращение стороны DC образует боковую поверхность цилиндра, так как сторона DC параллельна оси вращения AB. Радиус цилиндра $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, а высота цилиндра равна длине стороны $H=a=1$ см.

$S_{DC} = 2\pi r H = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

3. Вращение стороны BC образует боковую поверхность конуса. Образующая конуса $l=a=1$ см, радиус основания $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

$S_{BC} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} \text{ см}^2$.

4. Общая площадь поверхности $S$ является суммой площадей этих трех поверхностей:

$S = S_{AD} + S_{DC} + S_{BC} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + \sqrt{3}\pi + \frac{\sqrt{3}\pi}{2} = 2\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ:

Объем тела вращения: $V = \frac{3\pi}{4} \text{ см}^3$. В системе СИ: $V = \frac{3\pi}{4} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Площадь поверхности тела вращения: $S = 2\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$. В системе СИ: $S = 2\sqrt{3}\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

18. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $CD$.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Основания: $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Боковые стороны: $AD = BC = 1$ см.

Ось вращения: прямая $CD$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

1. Найдем высоту трапеции $h$.

Проведем из вершин $D$ и $C$ перпендикуляры $DH$ и $CK$ к основанию $AB$. Получим прямоугольник $DHKC$, поэтому $HK = DC = 1$ см.

Так как трапеция равнобедренная, треугольники $AHD$ и $BKC$ равны. Следовательно, $AH = KB$.

Длина отрезка $AH$ равна: $AH = \frac{AB - HK}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$h^2 = DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Тело вращения, полученное при вращении трапеции $ABCD$ вокруг прямой $CD$, можно представить как объем цилиндра, из которого по краям вырезаны два одинаковых конуса.

Для этого достроим трапецию до прямоугольника $A'B'BA$, опустив перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ из точек $A$ и $B$ на прямую $CD$.

Объем тела вращения будет равен объему цилиндра, образованного вращением прямоугольника $A'B'BA$, минус объемы двух конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников $A'DA$ и $B'CB$.

Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте трапеции: $R = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Найдем высоту цилиндра $H_{cyl}$. Она равна длине отрезка $A'B'$.

Из прямоугольного треугольника $A'DA$ найдем катет $A'D$:

$A'D = \sqrt{AD^2 - (AA')^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $B'C = A'D = 0.5$ см.

Тогда высота цилиндра: $H_{cyl} = A'B' = A'D + DC + CB' = 0.5 + 1 + 0.5 = 2$ см.

Объем цилиндра: $V_{cyl} = \pi R^2 H_{cyl} = \pi (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3\pi}{2}$ см³.

Высота каждого из вырезанных конусов $h_{cone} = A'D = 0.5$ см.

Объем одного конуса: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{cone} = \frac{1}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Объем тела вращения:

$V = V_{cyl} - 2 \cdot V_{cone} = \frac{3\pi}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi - \pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения состоит из суммы площадей поверхностей, образованных вращением сторон $AB$, $AD$ и $BC$ (сторона $CD$ лежит на оси вращения и не образует поверхности).

1. Поверхность, образованная вращением основания $AB$. Это боковая поверхность цилиндра, у которого радиус $R$ равен высоте трапеции $h$, а высота $H$ равна длине стороны $AB$.

$S_{AB} = 2\pi R \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 2\pi\sqrt{3}$ см².

2. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $AD$. Это боковая поверхность конуса, у которого радиус основания $R$ равен высоте трапеции $h$, а образующая $l$ равна длине стороны $AD$.

$S_{AD} = \pi R l = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $BC$, идентична поверхности от вращения $AD$.

$S_{BC} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:

$S = S_{AB} + S_{AD} + S_{BC} = 2\pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 3\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $3\pi\sqrt{3}$ см².

19. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $c$, содержащей среднюю линию этой трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Боковые стороны $AD = BC = 1$ см.

Основания $AB = 2$ см, $CD = 1$ см.

Ось вращения $c$ — прямая, содержащая среднюю линию трапеции.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

1. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CH$ и $DK$ на основание $AB$. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AK$ и $HB$ равны.

$AK = HB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADK$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = DK$:

$h = \sqrt{AD^2 - AK^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Вычисление объема тела вращения ($V$)

Для вычисления объема воспользуемся первой теоремой Паппа-Гульдина: $V = 2\pi \cdot d \cdot A$, где $A$ — площадь вращающейся фигуры, а $d$ — расстояние от ее центра масс (центроида) до оси вращения.

Площадь трапеции $ABCD$:

$A = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Ось вращения совпадает со средней линией трапеции, которая находится на расстоянии $\frac{h}{2}$ от каждого из оснований. Расстояние от оси вращения до основания $AB$ равно $r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Центроид трапеции лежит на ее оси симметрии. Найдем расстояние от центроида до большего основания $AB$ по формуле:

$y_c = \frac{h}{3} \cdot \frac{AB + 2 \cdot CD}{AB + CD} = \frac{\sqrt{3}/2}{3} \cdot \frac{2 + 2 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{18} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ см.

Расстояние $d$ от центроида до оси вращения (средней линии) равно:

$d = |r - y_c| = \left| \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{9} \right| = \left| \frac{9\sqrt{3} - 8\sqrt{3}}{36} \right| = \frac{\sqrt{3}}{36}$ см.

Теперь можем вычислить объем:

$V = 2\pi \cdot d \cdot A = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2}{36 \cdot 4} = \frac{18\pi}{144} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения ($S$)

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением оснований $AB$ и $CD$, и боковых сторон $AD$ и $BC$.

а) Площадь поверхности от вращения оснований

Основания $AB$ и $CD$ при вращении вокруг средней линии образуют боковые поверхности двух цилиндров. Радиус вращения для обоих оснований одинаков и равен расстоянию от средней линии до основания: $r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Площадь от вращения $AB$:

$S_{AB} = 2\pi r \cdot AB = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь от вращения $CD$:

$S_{CD} = 2\pi r \cdot CD = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

б) Площадь поверхности от вращения боковых сторон

Боковые стороны $AD$ и $BC$ при вращении образуют две одинаковые поверхности. Для нахождения площади одной такой поверхности (например, от вращения стороны $BC$) воспользуемся интегральной формулой $S_{side} = \int 2\pi \rho(s) ds$, где $\rho(s)$ - расстояние от точки на кривой до оси вращения. В нашем случае ось вращения (средняя линия) проходит ровно через середину каждой боковой стороны.

Поместим трапецию в систему координат так, чтобы ось вращения (средняя линия) совпадала с осью $Ox$. Тогда вершины $B$ и $C$ будут иметь координаты $B(1, -\frac{\sqrt{3}}{4})$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{4})$. Расстояние от точки $(x, y)$ до оси вращения равно $|y|$.

Площадь поверхности, образованной вращением отрезка $BC$, равна:

$S_{BC} = \int_{BC} 2\pi |y| ds$.

Эту площадь можно найти, используя вторую теорему Паппа-Гульдина: $S_{BC} = L \cdot 2\pi \cdot \rho_c$, где $L=1$ - длина отрезка $BC$, а $\rho_c$ - расстояние от центроида отрезка до оси вращения (с учетом абсолютного значения расстояния). Так как отрезок симметричен относительно своей середины, которая лежит на оси вращения, $\rho_c$ равно среднему абсолютному значению координаты $y$.

$\rho_c = \frac{1}{L} \int_0^L |y(s)| ds = \frac{1}{h/2} \int_0^{h/2} y dy = \frac{1}{h/2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{h/2} = \frac{h}{4}$.Это не совсем верно. Проще посчитать интеграл напрямую. Площадь, образуемая вращением отрезка прямой, соединяющей точки $(x_1, r_1)$ и $(x_2, r_2)$ вокруг оси $x$ - это боковая поверхность усеченного конуса, $S=\pi(r_1+r_2)L$. В нашем случае, y-координаты меняют знак. Вращение $BC$ создает две поверхности усеченных конусов, с общей нулевой вершиной на оси вращения.Разобьем отрезок $BC$ на две части его средней точкой, которая лежит на оси вращения. Каждая часть (длиной $L/2 = 1/2$) вращается, образуя коническую поверхность с радиусом основания $r_{max} = h/2 = \sqrt{3}/4$ и образующей $1/2$.Площадь такой конической поверхности $S_{cone} = \pi r L = \pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}$.Так как у нас две такие поверхности для отрезка $BC$, то $S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.Так как боковых сторон две ($AD$ и $BC$), их общая площадь поверхности:

$S_{sides} = 2 \cdot S_{BC} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

в) Общая площадь поверхности

Суммируем все полученные площади:

$S = S_{AB} + S_{CD} + S_{sides} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

Объем тела вращения $V = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения $S = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

20. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой CD.

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD

Основание AB = 2 см

Основание CD = 1 см

Меньшая боковая сторона (высота) = 1 см

Ось вращения: прямая CD

Для удобства вычисления производятся в сантиметрах (см).

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

1. Построение модели трапеции в системе координат.

Поместим ось вращения, прямую CD, на ось абсцисс $Ox$. Так как длина основания CD равна 1 см, расположим его вершины в точках D(0,0) и C(1,0). Трапеция является прямоугольной, и ее меньшая боковая сторона, являющаяся высотой, равна 1 см. Пусть этой стороной будет AD. Так как AD перпендикулярна основанию CD (оси $Ox$) и выходит из точки D(0,0), то вершина A будет иметь координаты (0,1). Длина AD при этом равна 1 см.

Второе основание AB параллельно CD, следовательно, оно лежит на прямой $y=1$. Длина AB равна 2 см. Поскольку A=(0,1), то вершина B имеет координаты (2,1). Таким образом, мы получаем трапецию с вершинами D(0,0), C(1,0), B(2,1) и A(0,1). Эта фигура удовлетворяет всем условиям задачи: основания AB=2 и CD=1 параллельны, боковая сторона AD=1 перпендикулярна основаниям (является высотой и меньшей боковой стороной, так как длина стороны BC равна $\sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} > 1$).

2. Нахождение объема тела вращения.

Тело вращения образуется при вращении трапеции DCBA вокруг оси $Ox$. Объем этого тела можно вычислить с помощью определенного интеграла. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной сверху кривой $y_{верх}(x)$ и снизу кривой $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, находится по формуле:

$V = \pi \int_a^b (y_{верх}^2(x) - y_{нижн}^2(x)) dx$

В нашем случае верхняя граница фигуры — отрезок AB, заданный уравнением $y_{верх}(x) = 1$ на отрезке $x \in [0, 2]$.

Нижняя граница состоит из двух частей:

• отрезок DC, где $y_{нижн}(x) = 0$ для $x \in [0, 1]$;
• отрезок CB, соединяющий C(1,0) и B(2,1). Его уравнение: $y = x-1$ для $x \in [1, 2]$.

Тогда объем равен:

$V = \pi \int_0^2 (1)^2 dx - \left( \pi \int_0^1 (0)^2 dx + \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx \right)$

$V = \pi \int_0^2 1 dx - \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx$

Вычисляем интегралы:

$\pi \int_0^2 1 dx = \pi [x]_0^2 = 2\pi$

$\pi \int_1^2 (x-1)^2 dx = \pi \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^2 = \pi \left( \frac{(2-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}$

Итоговый объем:

$V = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \text{ см}^3$

3. Нахождение площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон трапеции, которые не лежат на оси вращения. Это стороны AD, AB и BC.

• Поверхность от вращения стороны AD: Отрезок AD (от (0,0) до (0,1)) при вращении вокруг оси $Ox$ образует круг радиусом $r=1$, который является одним из оснований тела. Его площадь: $S_1 = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi \text{ см}^2$
• Поверхность от вращения стороны AB: Отрезок AB (от (0,1) до (2,1)) при вращении образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $R=1$ и высотой $h=2$. Ее площадь: $S_2 = 2\pi R h = 2\pi (1)(2) = 4\pi \text{ см}^2$
• Поверхность от вращения стороны BC: Отрезок BC (от (1,0) до (2,1)) при вращении образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке C(1,0). Радиус основания конуса равен ординате точки B, то есть $R_{осн}=1$. Образующая конуса $l$ равна длине отрезка BC: $l = \sqrt{2}$ см. Площадь этой поверхности: $S_3 = \pi R_{осн} l = \pi (1) \sqrt{2} = \pi\sqrt{2} \text{ см}^2$

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \pi + 4\pi + \pi\sqrt{2} = 5\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(5 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: Объем тела вращения равен $V = \frac{5\pi}{3} \text{ см}^3$, а площадь его поверхности $S = \pi(5 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

21. Найти объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AB.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона шестиугольника $a = 1$ см

Ось вращения — прямая $AB$

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи расположим шестиугольник в декартовой системе координат. Пусть ось вращения, проходящая через сторону $AB$, совпадает с осью абсцисс ($Ox$). Вершину $A$ поместим в начало координат $(0,0)$, тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(1,0)$.

Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны равны $1$ см, а все внутренние углы равны $120^\circ$.

Тело вращения образуется вращением плоской фигуры (шестиугольника) вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Объем и площадь поверхности этого тела можно найти, разбив его на более простые геометрические тела.

Объем тела вращения

Для нахождения объема воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объем тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры.

$V = A \cdot 2\pi \cdot \bar{y}$

1. Найдем площадь правильного шестиугольника $A$ со стороной $a=1$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем расстояние от центроида шестиугольника до оси вращения $AB$. У правильного шестиугольника центроид совпадает с его геометрическим центром. Расстояние от центра до любой из сторон равно апофеме $h$.

$\bar{y} = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь вычислим объем тела вращения:

$V = A \cdot 2\pi \cdot \bar{y} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 3\pi \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон $BC, CD, DE, EF$ и $FA$ вокруг оси $AB$. Сторона $AB$ лежит на оси вращения, поэтому ее вращение не создает поверхности.

Для вычисления площадей воспользуемся координатами вершин. Расстояние от вершины до оси вращения (оси $Ox$) является ее $y$-координатой. Радиусы вращения для вершин:

$r_A = r_B = 0$

$r_C = r_F = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r_D = r_E = a \cdot \sin(60^\circ) + a \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением отрезка (усеченного конуса), вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей (длина отрезка).

1. Вращение стороны $BC$ ($l=1$). Образуется конус с радиусами $r_B=0$ и $r_C=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{BC} = \pi(r_B + r_C) \cdot l = \pi(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

2. Вращение стороны $CD$ ($l=1$). Образуется усеченный конус с радиусами $r_C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r_D=\sqrt{3}$.

$S_{CD} = \pi(r_C + r_D) \cdot l = \pi(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}) \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

3. Вращение стороны $DE$ ($l=1$). Образуется цилиндр с радиусом $r = \sqrt{3}$.

$S_{DE} = 2\pi r l = 2\pi \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

4. Вращение стороны $EF$ ($l=1$). Из-за симметрии шестиугольника, эта поверхность идентична поверхности от вращения $CD$.

$S_{EF} = S_{CD} = \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

5. Вращение стороны $FA$ ($l=1$). Эта поверхность идентична поверхности от вращения $BC$.

$S_{FA} = S_{BC} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

Суммарная площадь поверхности $S$ равна сумме этих площадей:

$S = S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{2} + 2\sqrt{3}\pi + \frac{3\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$

$S = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2})\sqrt{3}\pi = (\frac{8}{2} + 2)\sqrt{3}\pi = (4+2)\sqrt{3}\pi = 6\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $6\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

22. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $AC$.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона шестиугольника $a = 1$ см

Ось вращения — прямая $AC$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Сначала определим некоторые геометрические параметры шестиугольника, которые понадобятся для дальнейших расчетов.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120°$. Следовательно, в треугольнике $ABC$ имеем $AB = BC = 1$ см и $\angle ABC = 120°$.

Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120°) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$ см.

Объем тела вращения

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: объем тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, которую описывает ее центроид (центр масс).

$V = 2\pi \cdot A \cdot d_c$

где $A$ — площадь правильного шестиугольника, а $d_c$ — расстояние от его центроида до оси вращения $AC$.

1. Найдем площадь шестиугольника $A$.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$A = 6 \cdot \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Найдем расстояние $d_c$.

Центроидом правильного шестиугольника является его геометрический центр $O$. Расстояние $d_c$ — это расстояние от точки $O$ до прямой $AC$. Это расстояние равно высоте $OH$, опущенной из вершины $O$ на основание $AC$ в равнобедренном треугольнике $OAC$.

В $\triangle OAC$ стороны $OA = OC = 1$ см (как радиусы описанной окружности, равные стороне шестиугольника), а основание $AC = \sqrt{3}$ см. Высота $OH$ также является медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$, и $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OHA$:

$d_c = OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ см.

3. Вычислим объем $V$.

$V = 2\pi \cdot A \cdot d_c = 2\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения образуется при вращении сторон шестиугольника $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ вокруг оси $AC$. Она равна сумме площадей боковых поверхностей конусов и усеченных конусов, которые образуют стороны при вращении.

Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением отрезка (образующей) длиной $l$, вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вращения концов отрезка (расстояния от концов отрезка до оси вращения).

Длина каждой стороны шестиугольника $l=a=1$ см. Найдем радиусы вращения для каждой вершины.

Вершины $A$ и $C$ лежат на оси вращения, поэтому их радиусы вращения равны нулю: $r_A = 0$, $r_C = 0$.

1. Найдем радиусы вращения вершин $B, D, E, F$.

• $r_B$: Радиус вращения вершины $B$ — это ее расстояние до прямой $AC$, то есть высота треугольника $ABC$, опущенная из $B$. Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(120°) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot r_B = \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot r_B$. Отсюда $r_B = \frac{1}{2}$ см.

• $r_D$: Рассмотрим $\triangle ACD$. Его стороны: $AC=\sqrt{3}$, $CD=1$, $AD=2$ (длинная диагональ шестиугольника). Так как $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3+1=4=2^2$, то есть $AC^2 + CD^2 = AD^2$, $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно длине катета $CD$. $r_D = 1$ см.

• $r_F$: Аналогично, в $\triangle AFC$ стороны $AF=1$, $AC=\sqrt{3}$, $FC=2$. Угол $\angle CAB = \frac{180°-120°}{2} = 30°$. Угол $\angle FAB = 120°$. Тогда $\angle FAC = \angle FAB - \angle CAB = 120° - 30° = 90°$. Таким образом, $\triangle FAC$ прямоугольный, и расстояние от $F$ до прямой $AC$ равно длине катета $AF$. $r_F = 1$ см.

• $r_E$: Вершина $E$ диаметрально противоположна вершине $B$ относительно центра $O$. Центр $O$ находится на расстоянии $d_c=1/2$ от оси $AC$, а вершина $B$ на расстоянии $r_B=1/2$ (по одну сторону от прямой, проходящей через $O$ параллельно $AC$). Значит, $E$ находится на расстоянии $r_E = d_c + (d_c+r_B-d_c) = 2d_c+r_B-d_c$. Это сложно. Проще: расстояние от E до AC равно $r_E = r_F + r_B = 1 + 1/2 = 3/2$ см. Это можно показать, спроецировав вершины на прямую, перпендикулярную оси вращения. Или из координат: если $A(0,0)$, $C(\sqrt{3},0)$, то $E(\sqrt{3}/2, -3/2)$, откуда $r_E=3/2$.

Итак, радиусы вращения вершин:

$r_A = 0$, $r_B = 1/2$, $r_C = 0$, $r_D = 1$, $r_E = 3/2$, $r_F = 1$.

2. Вычислим площади поверхностей, образованных каждой стороной ($l=1$).

$S_{AB} = \pi(r_A + r_B)l = \pi(0 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

$S_{BC} = \pi(r_B + r_C)l = \pi(\frac{1}{2} + 0) \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

$S_{CD} = \pi(r_C + r_D)l = \pi(0 + 1) \cdot 1 = \pi$

$S_{DE} = \pi(r_D + r_E)l = \pi(1 + \frac{3}{2}) \cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$

$S_{EF} = \pi(r_E + r_F)l = \pi(\frac{3}{2} + 1) \cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$

$S_{FA} = \pi(r_F + r_A)l = \pi(1 + 0) \cdot 1 = \pi$

3. Найдем общую площадь поверхности $S$.

$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \pi$

$S = \pi + 2\pi + \frac{10\pi}{2} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $8\pi$ см².

23. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $AD$.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона $a = 1$ см

Ось вращения - прямая $AD$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$ можно представить состоящим из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Большая диагональ $AD$ является осью симметрии шестиугольника и проходит через его центр.

При вращении шестиугольника вокруг прямой $AD$ образуется тело вращения, которое состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов, присоединенных к его основаниям.

Определим размеры этих геометрических тел, исходя из того, что сторона шестиугольника $a = 1$ см.

• Цилиндр образуется при вращении прямоугольника, образованного вершинами $B$, $C$ и их проекциями на ось $AD$.

  • Радиус цилиндра $r$ равен расстоянию от вершины $B$ (или $C$) до оси вращения $AD$. Это расстояние равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a$, т.е. $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
    При $a=1$ см, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

  • Высота цилиндра $H_{цил}$ равна длине стороны $BC$ шестиугольника, так как $BC$ параллельна оси вращения $AD$.
    $H_{цил} = a = 1$ см.

• Конусы (два одинаковых) образуются при вращении прямоугольных треугольников, катетами которых являются отрезки $AH_B$ и $H_BB$ (для первого конуса) и $DH_C$ и $H_CC$ (для второго), где $H_B$ и $H_C$ — проекции точек $B$ и $C$ на ось $AD$.

  • Радиус основания конуса $R_{кон}$ равен радиусу цилиндра.
    $R_{кон} = r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

  • Высота конуса $H_{кон}$ равна половине разности длин большой диагонали $AD=2a$ и высоты цилиндра $H_{цил}=a$.
    $H_{кон} = \frac{AD - H_{цил}}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.
    При $a=1$ см, $H_{кон} = \frac{1}{2}$ см.

  • Образующая конуса $l$ равна стороне шестиугольника $AB$ (или $CD$).
    $l = a = 1$ см.

1. Найдем объем тела вращения

Общий объем $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Объем одного конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R_{кон}^2 H_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см$^3$.

Тогда общий объем тела вращения:

$V = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см$^3$.

2. Найдем площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ складывается из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2 \cdot S_{бок.кон}$. Основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в общую площадь поверхности не входят.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.цил} = 2 \pi r H_{цил}$.

$S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности одного конуса: $S_{бок.кон} = \pi R_{кон} l$.

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Тогда общая площадь поверхности тела вращения:

$S = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

24. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $c$, проходящей через середины сторон $AB$ и $DE$.

Дано:
Правильный шестиугольник $ABCDEF$.
Сторона шестиугольника $a = 1 \text{ см}$.
Ось вращения $c$ — прямая, проходящая через середины сторон $AB$ и $DE$.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи разместим шестиугольник в декартовой системе координат. Пусть ось вращения $c$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$), а центр шестиугольника — с началом координат $O(0,0)$.

Ось вращения соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $DE$. В правильном шестиугольнике эта линия является осью симметрии и проходит через его центр. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, середина стороны $AB$ (точка $M$) и середина стороны $DE$ (точка $N$) будут иметь координаты $M(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $N(\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку ось вращения проходит через середины сторон $AB$ и $DE$, эти стороны перпендикулярны оси вращения. Зная, что длина этих сторон равна $a$, и их середины лежат на оси $Ox$, найдем координаты вершин $A, B, D, E$ при $a=1$ см:
$A(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
$D(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $E(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Остальные вершины $C$ и $F$ найдем, зная, что внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$ и длина стороны равна $a$. Сторона $BC$ должна составлять с вертикальной стороной $AB$ угол $120^\circ$, то есть $30^\circ$ с горизонталью. Координаты вершины $C$ относительно $B$: $x_C = x_B + a \cos(30^\circ) = -\frac{a\sqrt{3}}{2} + a \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$; $y_C = y_B + a \sin(30^\circ) = \frac{a}{2} + a \frac{1}{2} = a$. Таким образом, $C(0, a)$.
Вершина $F$ симметрична вершине $C$ относительно оси $Ox$, поэтому $F(0, -a)$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения найдем с помощью метода дисков. Объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, вычисляется по формуле $V = \pi \int_{x_1}^{x_2} [f(x)]^2 dx$.

Верхняя граница шестиугольника задается ломаной $BCD$. В силу симметрии тела относительно плоскости $yOz$ ($x=0$), можем разбить интеграл на две части:
1. Отрезок $BC$: $B(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$ и $C(0, a)$. Уравнение прямой: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + a$.
2. Отрезок $CD$: $C(0, a)$ и $D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$. Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + a$.
Так как шестиугольник симметричен относительно оси $Ox$, его объем равен объему тела, полученного вращением его верхней половины.

$V = \pi \int_{-a\sqrt{3}/2}^{0} (\frac{1}{\sqrt{3}}x + a)^2 dx + \pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a - \frac{1}{\sqrt{3}}x)^2 dx$

В силу симметрии, эти два интеграла равны. Вычислим второй и удвоим результат:$V = 2\pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a - \frac{x}{\sqrt{3}})^2 dx = 2\pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a^2 - \frac{2ax}{\sqrt{3}} + \frac{x^2}{3}) dx$

$V = 2\pi \left[ a^2x - \frac{2a}{\sqrt{3}}\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{9} \right]_0^{a\sqrt{3}/2} = 2\pi \left( a^2\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{\sqrt{3}}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{9}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 \right)$

$V = 2\pi \left( \frac{a^3\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{\sqrt{3}}\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^3\sqrt{3}}{9 \cdot 8} \right) = 2\pi \left( \frac{a^3\sqrt{3}}{2} - \frac{a^3\sqrt{3}}{4} + \frac{a^3\sqrt{3}}{24} \right)$

$V = 2\pi a^3\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{24} \right) = 2\pi a^3\sqrt{3} \left( \frac{12-6+1}{24} \right) = 2\pi a^3\sqrt{3} \frac{7}{24} = \frac{7\pi a^3\sqrt{3}}{12}$

Подставляя $a=1 \text{ см}$, получаем: $V = \frac{7\pi \sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{7\pi \sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из боковой (криволинейной) поверхности и двух плоских оснований (торцов).

1. Плоские основания. Они образуются при вращении отрезков $AB$ и $DE$ вокруг оси $Ox$. Так как эти отрезки перпендикулярны оси вращения и имеют длину $a$, а их середины лежат на оси, то при вращении каждый из них образует круг радиусом $r = a/2$. Площадь одного такого круга равна $\pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Так как у тела два таких основания, их суммарная площадь:$S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$.

2. Боковая поверхность. Она образуется вращением отрезков $BC, CD, EF, FA$. Для нахождения площади поверхности, образованной вращением отрезка, используем первую теорему Паппа-Гульдина: $S = 2\pi \bar{y} L$, где $L$ — длина отрезка, а $\bar{y}$ — расстояние от его центра тяжести (середины) до оси вращения.

Для отрезка $BC$ ($B(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}), C(0, a)$):
Длина $L_{BC} = a$.
Координаты середины: $(\frac{-a\sqrt{3}/2+0}{2}, \frac{a/2+a}{2}) = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4})$.
Расстояние до оси $Ox$: $\bar{y} = \frac{3a}{4}$.
Площадь $S_{BC} = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^2}{2}$.

Для отрезка $CD$ ($C(0, a), D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$):
Длина $L_{CD} = a$.
Координаты середины: $(\frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{a+a/2}{2}) = (\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4})$.
Расстояние до оси $Ox$: $\bar{y} = \frac{3a}{4}$.
Площадь $S_{CD} = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^2}{2}$.

Отрезки $FA$ и $EF$ симметричны отрезкам $BC$ и $CD$ относительно оси вращения, поэтому они образуют поверхности с такими же площадями: $S_{FA} = S_{BC}$ и $S_{EF} = S_{CD}$.

Суммарная площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{BC} + S_{CD} + S_{EF} + S_{FA} = 4 \cdot \frac{3\pi a^2}{2} = 6\pi a^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения:$S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi a^2}{2} + 6\pi a^2 = \frac{13\pi a^2}{2}$.

Подставляя $a=1 \text{ см}$, получаем: $S = \frac{13\pi}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{13\pi}{2} \text{ см}^2$.

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра куба $a = 1$ ед.
Ось вращения — прямая, содержащая ребро $AA_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$, а ребро $AA_1$ лежит на оси $Oz$. В этом случае осью вращения будет ось $Oz$. Поскольку куб единичный, его вершины будут иметь координаты в пределах от 0 до 1 по каждой оси.

Тело, которое образуется в результате вращения куба вокруг одного из его ребер, представляет собой прямой круговой цилиндр. Для нахождения объема и площади поверхности нам необходимо определить высоту этого цилиндра и радиус его основания.

Высота $H$ полученного цилиндра равна длине ребра куба, которое лежит на оси вращения. Таким образом, $H = a = 1$.

Радиус основания $R$ цилиндра равен максимальному расстоянию от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленной от оси вращения является ребро $CC_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до оси $AA_1$ (оси $Oz$) является постоянным и равным длине диагонали основания $AC$. $R = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, тело вращения — это прямой круговой цилиндр с высотой $H=1$ и радиусом основания $R=\sqrt{2}$. Теперь мы можем вычислить его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения: $V = \pi (\sqrt{2})^2 \cdot 1 = \pi \cdot 2 \cdot 1 = 2\pi$

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания, которое представляет собой круг радиусом $R=\sqrt{2}$: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\pi\sqrt{2}$

Следовательно, полная площадь поверхности тела вращения равна: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 2\pi + 2\pi\sqrt{2} = 4\pi + 2\pi\sqrt{2} = 2\pi(2 + \sqrt{2})$

Ответ: Объем тела вращения равен $2\pi$ куб. ед., площадь поверхности равна $2\pi(2 + \sqrt{2})$ кв. ед.

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$

Ось вращения $c$ проходит через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное при вращении единичного куба вокруг прямой, проходящей через центры противоположных граней, представляет собой прямой круговой цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна ребру куба, а радиус основания $R$ равен расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки куба. Такими точками являются вершины куба.

Высота цилиндра:

$h = a = 1$

Для нахождения радиуса найдем расстояние от центра грани (через который проходит ось вращения) до вершины этой грани. Это расстояние равно половине длины диагонали $d$ грани куба (квадрата со стороной $a=1$).

Диагональ грани по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Радиус цилиндра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь, зная высоту и радиус цилиндра, можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим найденные значения:

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi}{2}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ равна сумме площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R h$

Подставляем найденные значения $R$ и $h$:

$S = 2\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = 2\pi \left(\frac{2}{4}\right) + \pi\sqrt{2} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(1 + \sqrt{2})$.

3. Найти объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AA_1$.

Длина ребра $a = 0.01$ м.

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ вокруг ее бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра равны 1 см, значит, сторона основания $AB = BC = CA = 1$ см, и высота призмы $h = AA_1 = 1$ см.

Ось вращения $AA_1$ проходит через вершины $A$ и $A_1$ призмы.

Чтобы определить форму тела вращения, рассмотрим его поперечное сечение, перпендикулярное оси вращения $AA_1$. Такое сечение образуется вращением соответствующего сечения призмы. Сечением призмы на любой высоте $z$ ($0 \le z \le 1$) является равносторонний треугольник, равный основанию $ABC$.

При вращении этого треугольного сечения вокруг вершины, лежащей на оси $AA_1$, образуется круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от точек треугольника до вершины, лежащей на оси. В равностороннем треугольнике со стороной 1 см максимальное расстояние от одной вершины до любой точки треугольника достигается в двух других вершинах и равно длине стороны, то есть 1 см.

Таким образом, поперечное сечение тела вращения на любой высоте является кругом радиусом $R = 1$ см. Тело, имеющее постоянное круглое сечение по всей высоте, является цилиндром. Высота этого цилиндра равна высоте призмы $h = 1$ см, а радиус его основания $R = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставляя значения $R=1$ см и $h=1$ см, получаем:

$V = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \text{ см}^3$

Ответ: $V = \pi \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности полученного цилиндра складывается из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R h$.

Площадь полной поверхности $S$ равна:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h$

Подставляя значения $R=1$ см и $h=1$ см, получаем:

$S = 2 \pi (1 \text{ см})^2 + 2 \pi (1 \text{ см})(1 \text{ см}) = 2\pi \text{ см}^2 + 2\pi \text{ см}^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Эта поверхность формируется вращением поверхности исходной призмы. Нижнее основание цилиндра (круг площадью $\pi$) образуется вращением треугольника $ABC$. Верхнее основание (также круг площадью $\pi$) образуется вращением треугольника $A_1B_1C_1$. Боковая поверхность цилиндра (площадью $2\pi$) образуется вращением ребер $BB_1$ и $CC_1$, которые наиболее удалены от оси вращения $AA_1$.

Ответ: $S = 4\pi \text{ см}^2$.

4. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$ см.
Ось вращения $c$ проходит через центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Поскольку призма является правильной, ее основаниями служат равносторонние треугольники ($ABC$ и $A_1B_1C_1$), а боковые грани являются прямоугольниками. Так как все ребра равны 1 см, то сторона основания $a=1$ см, а высота призмы $h=1$ см.

Ось вращения проходит через центры оснований. При вращении призмы вокруг этой оси образуется тело вращения. Каждое поперечное сечение призмы, перпендикулярное оси вращения, представляет собой равносторонний треугольник. При вращении такого треугольника вокруг его центра он заметает круг, радиус которого равен радиусу описанной окружности этого треугольника.

Следовательно, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр. Высота этого цилиндра $H$ совпадает с высотой призмы $h$, то есть $H=1$ см. Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольного основания призмы.

Найдем радиус $R$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставляя $a=1$ см, получаем: $R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Объем тела вращения

Объем получившегося цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Подставим найденные значения $R$ и $H$: $V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{9} \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Полная площадь поверхности получившегося цилиндра $S$ складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь каждого основания (круга) равна: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{\pi}{3}$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$: $S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см².

Теперь найдем полную площадь поверхности: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi + 2\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi(1+\sqrt{3})}{3}$ см².

Ответ: объем тела вращения $V = \frac{\pi}{3}$ см³, площадь поверхности $S = \frac{2\pi(1+\sqrt{3})}{3}$ см².