Номер 2, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$

Ось вращения $c$ проходит через центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Тело, полученное при вращении единичного куба вокруг прямой, проходящей через центры противоположных граней, представляет собой прямой круговой цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна ребру куба, а радиус основания $R$ равен расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки куба. Такими точками являются вершины куба.

Высота цилиндра:

$h = a = 1$

Для нахождения радиуса найдем расстояние от центра грани (через который проходит ось вращения) до вершины этой грани. Это расстояние равно половине длины диагонали $d$ грани куба (квадрата со стороной $a=1$).

Диагональ грани по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Радиус цилиндра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь, зная высоту и радиус цилиндра, можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим найденные значения:

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi}{2}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ равна сумме площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R h$

Подставляем найденные значения $R$ и $h$:

$S = 2\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = 2\pi \left(\frac{2}{4}\right) + \pi\sqrt{2} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(1 + \sqrt{2})$.