Номер 6, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$.

Ось вращения $c$ - прямая, проходящая через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, ребро $AD$ – на оси $Oy$, а ребро $AA_1$ – на оси $Oz$. В этой системе координат куб занимает область $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$.

Координаты вершин, необходимых для определения оси вращения:

$B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем координаты середин ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Середина ребра $BC$, точка $M$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.

Середина ребра $B_1C_1$, точка $N$: $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Ось вращения $c$ проходит через точки $M$ и $N$. Уравнения этой прямой: $x=1, y=\frac{1}{2}$. Это прямая, параллельная оси $Oz$.

Тело вращения образуется при вращении всех точек куба вокруг оси $c$. Чтобы определить форму тела, рассмотрим его поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, например, плоскостью $z=z_0$ ($0 \le z_0 \le 1$).

Сечением куба этой плоскостью является единичный квадрат с вершинами в точках $(0,0,z_0), (1,0,z_0), (1,1,z_0), (0,1,z_0)$. Ось вращения пересекает эту плоскость в точке $P(1, \frac{1}{2}, z_0)$.

При вращении квадрата вокруг точки $P$ в плоскости $z=z_0$ образуется плоская фигура. Эта фигура представляет собой круг, так как точка $P$ находится на границе квадрата, и все точки квадрата при вращении "заполнят" круг. Радиус этого круга $R$ равен максимальному расстоянию от точек квадрата до центра вращения $P$.

Найдем это максимальное расстояние. Квадрат расстояния от любой точки $(x,y)$ квадрата ($0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$) до точки $(1, \frac{1}{2})$ равен:

$d^2 = (x-1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2$.

Чтобы найти максимум $d^2$, найдем максимумы каждого слагаемого на отрезке $[0,1]$:

Максимум функции $(x-1)^2$ на отрезке $[0,1]$ достигается при $x=0$ и равен $(0-1)^2 = 1$.

Максимум функции $(y-\frac{1}{2})^2$ на отрезке $[0,1]$ достигается на концах отрезка, при $y=0$ или $y=1$, и равен $(0-\frac{1}{2})^2 = (1-\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Следовательно, максимальное значение квадрата расстояния равно $R^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Радиус круга в сечении: $R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку радиус $R$ поперечного сечения не зависит от высоты $z_0$, тело вращения является прямым круговым цилиндром. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, то есть $h=1$. Радиус основания цилиндра $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности этого цилиндра.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставляем найденные значения:

$V = \pi \cdot (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{4}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{5}$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{5\pi}{4} + \pi\sqrt{5} = \frac{5\pi}{2} + \pi\sqrt{5} = \pi(\frac{5}{2} + \sqrt{5})$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{5\pi}{2} + \pi\sqrt{5}$.