Номер 12, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного октаэдра $S'ABCDS''$ вокруг прямой $S'S''$.

Дано:

Правильный октаэдр S'ABCDS''.
Длина ребра $a = 1$.
Ось вращения: прямая S'S''.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Единичный октаэдр представляет собой две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды (S'ABCD и S''ABCD), соединенные общим основанием ABCD. Основание ABCD — это квадрат, так как все ребра октаэдра равны 1.

При вращении октаэдра вокруг оси S'S'' (прямой, проходящей через вершины S' и S''), получается тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Вершины конусов находятся в точках S' и S'', а их общее основание — это окружность, которую описывают вершины квадрата ABCD при вращении.

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения нам необходимо определить радиус основания $r$ и высоту $h$ каждого конуса. Образующая конуса $l$ равна длине ребра октаэдра, то есть $l=1$.

Пусть O — центр квадрата ABCD. Ось вращения S'S'' проходит через точку O перпендикулярно плоскости квадрата.
Радиус основания конуса $r$ равен расстоянию от центра O до любой из вершин A, B, C, D. Это половина диагонали квадрата ABCD.
Сторона квадрата равна 1. Длина диагонали $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Следовательно, радиус $r = OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота конуса $h$ равна расстоянию от центра O до вершины S' (или S''), то есть $h = OS'$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle S'OA$. В нем гипотенуза $S'A$ — это ребро октаэдра, $S'A = l = 1$. Катет $OA = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора $S'A^2 = OS'^2 + OA^2$:
$l^2 = h^2 + r^2$
$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$1 = h^2 + \frac{2}{4} = h^2 + \frac{1}{2}$
$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Итак, мы имеем два одинаковых конуса с параметрами:
Радиус основания $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высота $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Образующая $l = 1$.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$.
Подставим найденные значения $r$ и $h$:
$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{2}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (основания конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят):
$S = 2 \cdot S_{бок. конуса} = 2 \cdot (\pi r l)$.
Подставим значения $r$ и $l$:
$S = 2 \cdot \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$.