Страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры ее оснований.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:
$a = 0,01$ м.

Найти:

Объем тела вращения, $V$ — ?
Площадь поверхности тела вращения, $S$ — ?

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, представляет собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $H$ равна высоте призмы. Согласно условию, все ребра призмы равны 1 см, следовательно, высота призмы (которая равна длине бокового ребра) составляет $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен максимальному расстоянию от оси вращения до точек на поверхности призмы. Ось вращения проходит через центры оснований, которые являются правильными шестиугольниками. Самыми удаленными точками от центра шестиугольника являются его вершины. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны.

Так как сторона основания призмы по условию равна 1 см, то и радиус цилиндра $R$ также будет равен 1 см.

Таким образом, мы получили цилиндр с высотой $H = 1$ см и радиусом основания $R = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра находится по формуле:
$V = \pi R^2 H$
Подставим известные значения $R = 1$ см и $H = 1$ см:
$V = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \text{ см}^3$

Ответ: $V = \pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площадей двух его оснований (кругов) и площади боковой поверхности.
$S = S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$
Формула для вычисления:
$S = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R+H)$
Подставим известные значения $R = 1$ см и $H = 1$ см:
$S = 2\pi \cdot 1 \text{ см} \cdot (1 \text{ см} + 1 \text{ см}) = 2\pi \cdot 1 \cdot 2 \text{ см}^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Ответ: $S = 4\pi$ см$^2$.

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$.

Ось вращения $c$ - прямая, проходящая через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, ребро $AD$ – на оси $Oy$, а ребро $AA_1$ – на оси $Oz$. В этой системе координат куб занимает область $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$.

Координаты вершин, необходимых для определения оси вращения:

$B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем координаты середин ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Середина ребра $BC$, точка $M$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.

Середина ребра $B_1C_1$, точка $N$: $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Ось вращения $c$ проходит через точки $M$ и $N$. Уравнения этой прямой: $x=1, y=\frac{1}{2}$. Это прямая, параллельная оси $Oz$.

Тело вращения образуется при вращении всех точек куба вокруг оси $c$. Чтобы определить форму тела, рассмотрим его поперечное сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, например, плоскостью $z=z_0$ ($0 \le z_0 \le 1$).

Сечением куба этой плоскостью является единичный квадрат с вершинами в точках $(0,0,z_0), (1,0,z_0), (1,1,z_0), (0,1,z_0)$. Ось вращения пересекает эту плоскость в точке $P(1, \frac{1}{2}, z_0)$.

При вращении квадрата вокруг точки $P$ в плоскости $z=z_0$ образуется плоская фигура. Эта фигура представляет собой круг, так как точка $P$ находится на границе квадрата, и все точки квадрата при вращении "заполнят" круг. Радиус этого круга $R$ равен максимальному расстоянию от точек квадрата до центра вращения $P$.

Найдем это максимальное расстояние. Квадрат расстояния от любой точки $(x,y)$ квадрата ($0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$) до точки $(1, \frac{1}{2})$ равен:

$d^2 = (x-1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2$.

Чтобы найти максимум $d^2$, найдем максимумы каждого слагаемого на отрезке $[0,1]$:

Максимум функции $(x-1)^2$ на отрезке $[0,1]$ достигается при $x=0$ и равен $(0-1)^2 = 1$.

Максимум функции $(y-\frac{1}{2})^2$ на отрезке $[0,1]$ достигается на концах отрезка, при $y=0$ или $y=1$, и равен $(0-\frac{1}{2})^2 = (1-\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Следовательно, максимальное значение квадрата расстояния равно $R^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Радиус круга в сечении: $R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку радиус $R$ поперечного сечения не зависит от высоты $z_0$, тело вращения является прямым круговым цилиндром. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, то есть $h=1$. Радиус основания цилиндра $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности этого цилиндра.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставляем найденные значения:

$V = \pi \cdot (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{5\pi}{4}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{5}$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{5\pi}{4} + \pi\sqrt{5} = \frac{5\pi}{2} + \pi\sqrt{5} = \pi(\frac{5}{2} + \sqrt{5})$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{5\pi}{2} + \pi\sqrt{5}$.

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг прямой, содержащей высоту DH этого тетраэдра.

Дано:
Правильный тетраэдр $ABCD$.
Длина ребра $a = 1$ (единичный тетраэдр).
Ось вращения — прямая, содержащая высоту тетраэдра $DH$.

Найти:
Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело, полученное вращением правильного тетраэдра $ABCD$ вокруг его высоты $DH$, представляет собой конус. Вершина тетраэдра $D$ является вершиной конуса. Основание конуса — это круг, который описывают вершины $A, B, C$ при вращении.

Для нахождения объема и площади поверхности этого конуса необходимо определить его основные параметры: радиус основания $R$, высоту $H$ и образующую $l$.

Образующая конуса $l$ равна длине бокового ребра тетраэдра. Так как тетраэдр единичный, $l = a = 1$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания тетраэдра — равностороннего треугольника $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой тетраэдра $DH$. Ее можно найти из прямоугольного треугольника $ADH$, где $AD$ — гипотенуза ($l$), $AH$ — катет ($R$), и $DH$ — второй катет ($H$).
По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = l^2$.
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Объем
Объем тела вращения — это объем конуса, который вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $H = \frac{\sqrt{6}}{3}$:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3}{9}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.
Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Площадь поверхности
Площадь поверхности тела вращения — это площадь полной поверхности конуса. Она складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l$.
Площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \frac{3}{9} = \frac{\pi}{3}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi R l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.
Полная площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.
Ответ: $S = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида SABCD.
Все ребра равны a = 1 см.

Перевод в систему СИ:
a = 1 см = 0.01 м.

Найти:

V - объем тела вращения.
S - площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг ее высоты, является конусом. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды S, а основание конуса — это круг, описанный вокруг основания пирамиды (квадрата ABCD).

Для вычисления объема и площади поверхности этого конуса найдем его основные параметры: радиус основания r, высоту h и образующую l.

1. Образующая конуса l равна боковому ребру пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см, следовательно, $l = 1$ см.

2. Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD. Сторона квадрата a = 1 см. Диагональ квадрата AC найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Тогда радиус $r = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота конуса h совпадает с высотой пирамиды SH. Найдем ее из прямоугольного треугольника SHC (где SC - гипотенуза, SH и HC - катеты) по теореме Пифагора: $h = SH = \sqrt{SC^2 - HC^2}$. Подставим известные значения $SC = l = 1$ см и $HC = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см: $h = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса, можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$. Подставим известные значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см и $l = 1$ см: $S = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) = \pi \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1) = \pi \cdot (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см².
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см².

9. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
Сторона основания, $a = 1$ см
Боковое ребро, $l = 2$ см

Найти:
Объем тела вращения, $V$
Площадь поверхности тела вращения, $S$

Решение:
Тело, полученное при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг своей высоты $SH$, является конусом.

Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды S. Основание конуса — это круг, описанный около основания пирамиды (правильного шестиугольника $ABCDEF$).

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Таким образом:
$R = a = 1$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды:
$L = l = 2$ см.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $SH$. Найдем ее из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Объем тела вращения
Объем тела вращения равен объему полученного конуса, который вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
Подставляем найденные значения:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь поверхности тела вращения равна площади полной поверхности конуса. Она состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S = S_{осн} + S_{бок}$
Площадь основания конуса:
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см².
Площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$ см².
Следовательно, площадь полной поверхности равна:
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 2\pi = 3\pi$ см².
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $3\pi$ см².

10. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AA_1$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг ее бокового ребра $AA_1$. Поскольку все ребра призмы равны 1 см, то сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 1$ см, и высота призмы $h = AA_1 = 1$ см.

Чтобы определить форму и размеры получившегося тела вращения, найдем максимальное расстояние от точек призмы до оси вращения $AA_1$. Это расстояние будет радиусом $R$ тела вращения. Высота тела вращения будет равна высоте призмы $h$.

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Ось вращения проходит через вершину $A$. Максимальное удаление от оси будет для точки шестиугольника, наиболее удаленной от вершины $A$. В правильном шестиугольнике это противоположная вершина $D$.

Расстояние $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$R = AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Поскольку призма является сплошным телом, а ее основание - связной фигурой, при вращении вокруг ребра $AA_1$ она заполнит все пространство внутри цилиндра с радиусом $R=2$ см и высотой $h=1$ см. Таким образом, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставим значения радиуса $R=2$ см и высоты $h=1$ см:

$V = \pi \cdot (2)^2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $4\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

$S = S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (круга):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2 \cdot (4\pi) + 4\pi = 8\pi + 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $12\pi$ см$^2$.

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой $AB$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$
Длина ребра $a = 1$ (единичный тетраэдр)
Ось вращения - прямая $AB$

Найти:

Объем тела вращения $V$
Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей ребро $AB$, вершины $A$ и $B$ остаются неподвижными, так как они лежат на оси вращения. Вершины $C$ и $D$ вращаются вокруг оси $AB$.

Поскольку тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из $C$ на сторону $AB$. Аналогично, расстояние от $D$ до $AB$ равно высоте треугольника $ABD$. Так как треугольники $ABC$ и $ABD$ равны, эти расстояния одинаковы.

Следовательно, вершины $C$ и $D$ при вращении описывают одну и ту же окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $AB$ и проходящей через его середину.

Тело вращения представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов, соединенных общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $B$.

Найдем параметры этих конусов:
1. Радиус общего основания $r$ равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$.
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Высота $h$ каждого конуса равна половине длины ребра $AB$.
$h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.
3. Образующая $l$ каждого конуса равна длине ребер $AC, BC, AD, BD$, то есть равна стороне тетраэдра.
$l = a = 1$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов. Формула объема одного конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Общий объем тела вращения:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Общая площадь поверхности тела вращения:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$.
Ответ: $\pi\sqrt{3}$.

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного октаэдра $S'ABCDS''$ вокруг прямой $S'S''$.

Дано:

Правильный октаэдр S'ABCDS''.
Длина ребра $a = 1$.
Ось вращения: прямая S'S''.

Найти:

Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Единичный октаэдр представляет собой две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды (S'ABCD и S''ABCD), соединенные общим основанием ABCD. Основание ABCD — это квадрат, так как все ребра октаэдра равны 1.

При вращении октаэдра вокруг оси S'S'' (прямой, проходящей через вершины S' и S''), получается тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Вершины конусов находятся в точках S' и S'', а их общее основание — это окружность, которую описывают вершины квадрата ABCD при вращении.

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения нам необходимо определить радиус основания $r$ и высоту $h$ каждого конуса. Образующая конуса $l$ равна длине ребра октаэдра, то есть $l=1$.

Пусть O — центр квадрата ABCD. Ось вращения S'S'' проходит через точку O перпендикулярно плоскости квадрата.
Радиус основания конуса $r$ равен расстоянию от центра O до любой из вершин A, B, C, D. Это половина диагонали квадрата ABCD.
Сторона квадрата равна 1. Длина диагонали $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Следовательно, радиус $r = OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота конуса $h$ равна расстоянию от центра O до вершины S' (или S''), то есть $h = OS'$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle S'OA$. В нем гипотенуза $S'A$ — это ребро октаэдра, $S'A = l = 1$. Катет $OA = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора $S'A^2 = OS'^2 + OA^2$:
$l^2 = h^2 + r^2$
$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$
$1 = h^2 + \frac{2}{4} = h^2 + \frac{1}{2}$
$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Итак, мы имеем два одинаковых конуса с параметрами:
Радиус основания $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высота $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Образующая $l = 1$.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$.
Подставим найденные значения $r$ и $h$:
$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{2}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (основания конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят):
$S = 2 \cdot S_{бок. конуса} = 2 \cdot (\pi r l)$.
Подставим значения $r$ и $l$:
$S = 2 \cdot \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1 \text{ см}$, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $L = 1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Перевод в систему СИ:
$L = 0.01$ м.

Найти:

$V$ — объем тела вращения.

$S$ — площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Поскольку призма правильная, ее основаниями ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонние треугольники, а боковые грани — квадраты, так как все ребра равны. Сторона основания $a = L = 0.01$ м, высота призмы $H = L = 0.01$ м.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$ соответственно. Так как призма прямая, ось вращения $MM_1$ перпендикулярна плоскостям оснований.

Тело вращения образуется при вращении всей призмы вокруг оси $MM_1$. Чтобы определить форму и размеры этого тела, рассмотрим поперечное сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси вращения, например, плоскостью основания $ABC$. Фигура, которую мы вращаем в этой плоскости, — это треугольник $ABC$, а центр вращения — точка $M$.

Чтобы найти объем и площадь поверхности тела вращения, нужно определить его форму. Тело вращения, полученное вращением призмы вокруг оси $MM_1$, будет иметь постоянное поперечное сечение вдоль всей высоты $H=MM_1$. Это сечение представляет собой фигуру, образованную вращением треугольника $ABC$ вокруг точки $M$.

Найдем максимальное расстояние от точек треугольника $ABC$ до центра вращения $M$. Это расстояние определит радиус тела вращения.

Расстояния от вершин треугольника до точки $M$:

• $M$ — середина $BC$, поэтому $MB = MC = \frac{a}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$ м.
• $AM$ — медиана и высота в равностороннем треугольнике $ABC$. Ее длина: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{0.01\sqrt{3}}{2}$ м.

Сравним расстояния: $\frac{0.01\sqrt{3}}{2} \approx 0.00866$ м, что больше $0.005$ м. Следовательно, самая удаленная от оси вращения точка — это вершина $A$ (и все точки на ребре $AA_1$).

Так как треугольник $ABC$ является связной фигурой, содержащей центр вращения $M$, то при его вращении вокруг $M$ будет заметена вся площадь круга с радиусом, равным максимальному расстоянию от $M$ до точек треугольника. Таким образом, тело вращения представляет собой сплошной цилиндр.

Радиус этого цилиндра $R = AM = \frac{0.01\sqrt{3}}{2}$ м.

Высота этого цилиндра $H_{цил} = MM_1 = H = 0.01$ м.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H_{цил}$.

Подставим наши значения:

$V = \pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.01 = \pi \cdot \frac{(0.01)^2 \cdot 3}{4} \cdot 0.01 = \pi \cdot \frac{0.0001 \cdot 3}{4} \cdot 0.01 = \frac{3\pi \cdot 10^{-6}}{4} = 0.75\pi \cdot 10^{-6}$ м³.

В сантиметрах: $V = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{3\pi}{4} \cdot 10^{-6}$ м³ (или $0.75\pi$ см³).

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность полученного цилиндра состоит из двух оснований (кругов) и боковой поверхности.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{4} = 0.75\pi \cdot 10^{-4}$ м².

Площадь двух оснований: $S_{2осн} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{4} = \frac{3\pi \cdot 10^{-4}}{2} = 1.5\pi \cdot 10^{-4}$ м².

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H_{цил}$.

$S_{бок} = 2\pi \left(\frac{0.01\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 0.01 = \pi \cdot 0.01\sqrt{3} \cdot 0.01 = \pi\sqrt{3} \cdot 10^{-4}$ м².

Полная площадь поверхности тела вращения: $S = S_{2осн} + S_{бок}$.

$S = \frac{3\pi}{2} \cdot 10^{-4} + \pi\sqrt{3} \cdot 10^{-4} = \pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot 10^{-4}$ м².

В сантиметрах: $S = \pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot 10^{-4}$ м² (или $\pi(\frac{3}{2} + \sqrt{3})$ см²).

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер (сторона основания и высота) $a = 1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 0.01$ м.
Высота призмы $h = 0.01$ м.

Найти:

Объем тела вращения $V$ и площадь его поверхности $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$. Ось вращения - это прямая $MM_1$. Высота призмы равна длине ее бокового ребра, то есть $h = a = 1$ см.

Призма является выпуклым телом. Ось вращения $MM_1$ проходит через точки на ее боковой грани $BCC_1B_1$. Это означает, что тело вращения будет представлять собой сплошной цилиндр. Высота этого цилиндра будет равна высоте призмы $h=1$ см. Радиус основания цилиндра $R$ будет равен максимальному расстоянию от точек призмы до оси вращения $MM_1$.

Чтобы найти этот максимальный радиус, рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения проецируется на плоскость основания в точку $M$ - середину стороны $BC$. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до самой дальней точки шестиугольника.

Введем на плоскости основания систему координат с началом в точке $M$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $BC$. В этой системе координат точка $M$ имеет координаты $(0, 0)$. Поскольку $M$ - середина $BC$ и $BC=1$ см, то вершины $B$ и $C$ имеют координаты $B(-1/2, 0)$ и $C(1/2, 0)$.

Центр шестиугольника $O$ находится на перпендикуляре к $BC$, восстановленном из точки $M$. Расстояние $MO$ равно апофеме правильного шестиугольника: $MO = a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, координаты центра $O$ это $(0, \sqrt{3}/2)$.

Найдем координаты остальных вершин. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно стороне $a=1$.

Координаты вершины $A$: Вектор $\vec{OA}$ можно получить, зная вектор $\vec{OB} = B - O = (-1/2, -\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{OA}$ получается поворотом вектора $\vec{OB}$ на $60^\circ$ против часовой стрелки относительно центра $O$. Но проще найти его как $O + \vec{v}$, где $\vec{v}$ имеет длину 1 и образует с вектором $\vec{OC}$ угол $120^\circ$. Координаты $A$ можно найти как $A(-1, \sqrt{3}/2)$.

Координаты вершины $D$: Симметрична $A$ относительно оси $Oy$, поэтому $D(1, \sqrt{3}/2)$.

Координаты вершины $E$: Вершина $E$ противоположна $B$. Вектор $\vec{OE} = -\vec{OB} = -(-1/2, -\sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3}/2)$. Тогда координаты $E = O + \vec{OE} = (0, \sqrt{3}/2) + (1/2, \sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3})$.

Координаты вершины $F$: Вершина $F$ противоположна $C$. Вектор $\vec{OF} = -\vec{OC} = -(1/2, -\sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$. Тогда координаты $F = O + \vec{OF} = (0, \sqrt{3}/2) + (-1/2, \sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3})$.

Теперь вычислим квадраты расстояний от оси вращения (точки $M(0,0)$) до всех вершин шестиугольника, чтобы найти максимальное:

$r_A^2 = (-1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$r_B^2 = (-1/2)^2 + 0^2 = \frac{1}{4}$

$r_C^2 = (1/2)^2 + 0^2 = \frac{1}{4}$

$r_D^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$r_E^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}$

$r_F^2 = (-1/2)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}$

Максимальное расстояние соответствует вершинам $E$ и $F$. Следовательно, радиус $R$ цилиндра, образующегося при вращении, равен $R = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

Подставляем найденные значения $R = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см и $h=1$ см:

$V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{13}{4} = \frac{13\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{13\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2(\pi R^2) + 2\pi R h$.

Подставляем наши значения:

$S = 2 \cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 + 2\pi \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} \cdot 1 = 2 \cdot \pi \cdot \frac{13}{4} + \pi\sqrt{13} = \frac{13\pi}{2} + \pi\sqrt{13} = \pi \left(\frac{13}{2} + \sqrt{13}\right)$ см$^2$.

Ответ: $S = \pi \left(\frac{13}{2} + \sqrt{13}\right)$ см$^2$.